Diga se as funções abaixo são polinômios. Derive aquelas que você souber derivar.
f(x)=(x^2+3 x)(x^3+7)

Passo 1

A função dada é f(x) = (x^2 + 3x)(x^3 + 7). O conteúdo abordado aqui é reconhecimento de polinômios e derivação. Para resolver, vamos usar que o produto de polinômios é polinômio (podendo expandir para ver isso) e, em seguida, derivar termo a termo ou usar a regra do produto.

Passo 2

Um produto de dois polinômios resulta em outro polinômio. Para tornar isso explícito, vamos expandir f(x):
Multiplicando termo a termo, temos
f(x)=x^2cdot x^3 + x^2cdot7 + 3xcdot x^3 + 3xcdot7
o que simplifica para
f(x)=x^5 + 7x^2 +3x^4 +21x
Reordenando por ordem decrescente de grau,
f(x)=x^5 +3x^4 +7x^2 +21x
Logo, f(x) é um polinômio de grau 5.

Passo 3

Para derivar, podemos usar derivação termo a termo (ou a regra do produto). Derivando cada monômio:
ddx(x^5)=5x^4, ddx(3x^4)=12x^3, ddx(7x^2)=14x, ddx(21x)=21
Somando as derivadas dos monômios, obtemos a derivada de f.

Resposta

f(x)=x^5 +3x^4 +7x^2 +21x, f'(x)=5x^4 +12x^3 +14x +21

Exercícios relacionados