Encontre uma função polinomial tal que nenhuma reta horizontal tenha mais que três interseções com seu gráfico, mas que existam retas com 7 interseções com o gráfico.
Passo 1
O enunciado pede uma função polinomial f tal que para toda reta horizontal y=c a equação f(x)=c tenha no máximo 3 soluções reais, mas que exista alguma reta inclinada y=ax+b cuja interseção com y=f(x) ocorra em 7 pontos distintos.
Passo 2
Se nenhuma reta horizontal intersecta o gráfico de f mais do que 3 vezes, então para todo c ∈ ℝ a equação f(x)−c=0 tem no máximo 3 raízes reais. Pelo Teorema de Rolle, isso equivale a dizer que a derivada f′(x) pode ter no máximo 2 raízes reais, caso contrário f(x)−c poderia ter mais de 3 soluções.
Passo 3
Considere agora uma reta inclinada y=ax+b. Suas interseções com o gráfico de f são as soluções de f(x)−ax−b=0. Defina g(x)=f(x)−ax−b. Então g′(x)=f′(x)−a. Como f′(x) tem no máximo 2 raízes reais, f′(x)−a também tem no máximo 2 raízes reais. Pelo Teorema de Rolle, g(x)=0 pode ter no máximo 3 raízes reais.
Passo 4
Portanto nenhuma reta inclinada pode intersectar o gráfico de f em mais de 3 pontos. Logo, é impossível existir um polinômio f com as propriedades exigidas.
Resposta
Não existe nenhum polinômio com essas propriedades.