Diga se os itens abaixo são verdadeiros ou falsos. Se verdadeiro, justifique. Se falso, dê um contraexemplo que mostra a falsidade da afirmação.
( 1 ponto)
pa
for uma série convergente, com
para todo
, então
é convergente.
( 1 ponto)
Passo 1
O enunciado dá que a série
é convergente e que
para todo
. A pergunta é: a afirmação ``então a série
é convergente’’ é verdadeira ou falsa? Se for verdadeira, justificar; se for falsa, dar contraexemplo.
Passo 2
Primeira observação importante (ferramenta que vamos usar): se uma série de termos não negativos
converge, então os termos formam uma sequência que tende a zero:
Explicação curta e didática: como
, as somas parciais
são uma sequência monótona não decrescente e, pela hipótese, limitada (pois a série converge). Logo
converge; assim a diferença
tende a zero quando
.
Passo 3
Da convergência
deduzimos que existe um índice
tal que, para todo
,
Explicando o porquê de forma concreta: tomar
. Como
, existe
com
para
, isto é
.
Passo 4
Para
no intervalo
vale a desigualdade
. Prova simples: se
então
, portanto
. Aplicando isso aos termos da sequência, para todo
temos
Passo 5
Agora aplicamos o teste de comparação para séries: como
converge, a cauda
também converge (somar apenas a partir de
dá uma série convergente). Pela desigualdade do Passo 4, a série
converge por comparação com
. As parcelas iniciais
formam uma soma finita, logo não impedem a convergência da série completa. Portanto a série
converge.
Passo 6
Resumo final e intuição: a chave foi que, por convergência da série
com termos não negativos, os termos vão a zero e logo ficam menores que
a partir de algum índice; para esses termos a potência quarta diminui o valor (
), então a comparação garante a convergência da série das quartas potências. Um comentário extra útil para a prova: o mesmo raciocínio vale para qualquer potência
(ou seja,
converge se
converge e
), mas não vale em geral para
.
Resposta
Verdadeiro: a série
converge.