Diga se os itens abaixo são verdadeiros ou falsos. Se verdadeiro, justifique. Se falso, dê um contraexemplo que mostra a falsidade da afirmação.
( 1 ponto) \mathrm{Se}^{\mathrm{P}}pa { }_{n} for uma série convergente, com a_{n} \geq 0 para todo n \in \mathrm{~N}, então a^{4}{ }_{n} é convergente.

Passo 1

O enunciado dá que a série \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} é convergente e que a_{n}\ge 0 para todo n\in\mathbb{N}. A pergunta é: a afirmação ``então a série \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}^{4} é convergente’’ é verdadeira ou falsa? Se for verdadeira, justificar; se for falsa, dar contraexemplo.

Passo 2

Primeira observação importante (ferramenta que vamos usar): se uma série de termos não negativos \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} converge, então os termos formam uma sequência que tende a zero:
\lim_{n\to\infty} a_{n}=0.
Explicação curta e didática: como a_{n}\ge 0, as somas parciais S_{N}=\sum_{n=1}^{N}a_{n} são uma sequência monótona não decrescente e, pela hipótese, limitada (pois a série converge). Logo S_{N} converge; assim a diferença a_{N}=S_{N}-S_{N-1} tende a zero quando N\to\infty.

Passo 3

Da convergência a_{n}\to 0 deduzimos que existe um índice N tal que, para todo n\ge N,
0\le a_{n}<1.
Explicando o porquê de forma concreta: tomar \varepsilon=1. Como a_{n}\to 0, existe N com |a_{n}-0|<1 para n\ge N, isto é a_{n}<1.

Passo 4

Para x no intervalo [0,1) vale a desigualdade x^{4}\le x. Prova simples: se 0\le x<1 então x^{3}\le 1, portanto x^{4}=x\cdot x^{3}\le x\cdot 1=x. Aplicando isso aos termos da sequência, para todo n\ge N temos
0\le a_{n}^{4}\le a_{n}.

Passo 5

Agora aplicamos o teste de comparação para séries: como \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} converge, a cauda \sum_{n=N}^{\infty} a_{n} também converge (somar apenas a partir de N dá uma série convergente). Pela desigualdade do Passo 4, a série
\sum_{n=N}^{\infty} a_{n}^{4}
converge por comparação com \sum_{n=N}^{\infty} a_{n}. As parcelas iniciais \sum_{n=1}^{N-1} a_{n}^{4} formam uma soma finita, logo não impedem a convergência da série completa. Portanto a série \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}^{4} converge.

Passo 6

Resumo final e intuição: a chave foi que, por convergência da série \sum a_{n} com termos não negativos, os termos vão a zero e logo ficam menores que 1 a partir de algum índice; para esses termos a potência quarta diminui o valor ( a_{n}^{4}\le a_{n}), então a comparação garante a convergência da série das quartas potências. Um comentário extra útil para a prova: o mesmo raciocínio vale para qualquer potência p\ge 1 (ou seja, \sum a_{n}^{p} converge se \sum a_{n} converge e a_{n}\ge0), mas não vale em geral para 0<p<1.

Resposta

Verdadeiro: a série \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}^{4} converge.

Exercícios relacionados