Encontre os quatro primeiros termos não nulos da série de potências em torno de
da solução geral da equação diferencial
Escolha uma opção:
a. Consegui resolver
b. Não sei como resolver
Passo 1
O enunciado pede: "Encontre os quatro primeiros termos não nulos da série de potências em torno de
da solução geral da equação diferencial
Informações dadas:
- A equação é linear de segunda ordem com coeficientes analíticos em
. - O lado direito é
, cuja série em torno de é conhecida. - A solução geral terá dois constantes arbitrárias (sendo uma série de potências determinada por
e ).
O que se pede explicitamente: os quatro primeiros termos não nulos da expansão em potência deda solução geral (isto é, os termos de menor ordem até obter quatro coeficientes não nulos).
Passo 2
Vou procurar uma solução em série de potências centrada em
. Assumo
Expresso as derivadas em série (fórmulas padrão; explico cada símbolo:
é o coeficiente desconhecido do termo
):
O lado direito tem expansão conhecida (isto é uma série de Taylor):
Passo 3
Agora substituo
,
e
na equação
Escrevo cada termo em série separadamente:
Somando os contributos para o coeficiente de
(e chamando
o coeficiente da direita), obtemos, para cada
,
Passo 4
Simplifico o termo que multiplica
quando
. Para
temos
Portanto a recorrência geral (para
) fica
Para
e
tratamos separadamente (pois alguns somatórios não existem nessas ordens).
Passo 5
Caso
: a equação dá
Logo
Isto mostra que
permanece como constante arbitrária (uma das constantes da solução geral) e
fica em função de
.
Passo 6
Caso
: a equação dá
Note que
, então sobra
Aqui
permanece livre (é a segunda constante arbitrária).
Passo 7
Agora uso a recorrência geral para calcular os termos seguintes (para fixar a série até termos suficientes). Para
:
Isto é
Substituo
:
Logo
Passo 8
Para
:
Isto é
Como
, temos
. Então
Portanto
Passo 9
Já temos os coeficientes iniciais necessários. Reunindo os termos da série até obter os primeiros quatro termos não nulos (no sentido dos menores graus):
-
(constante arbitrária), -
(constante arbitrária), -
com , -
com .
Assim a solução geral expandida começa por
onde
e
são constantes arbitrárias.