Verdadeiro (V) ou Falso (F). Prove as verdadeiras e dê um contra-exemplo para as falsas.
Mostre que se m e n são inteiros positivos, então
Mostre que se m e n são inteiros positivos, então
Passo 1
Resumo do enunciado: queremos decidir se é verdadeiro que
para inteiros positivos
e
. O conteúdo aqui é Teoria dos Números, em especial fatoração em primos e cálculo de máximo divisor comum.
Passo 2
Vamos usar a propriedade de que, ao fatorar dois números em primos, o
é o produto dos primos comuns elevados ao menor expoente comum. Se não há primo em comum, o
é 1.
Passo 3
Fatoramos cada potência:
tem fator primo apenas 2, e
tem fator primo apenas 3. Como 2 e 3 são primos distintos, não há nenhum fator primo em comum.
Passo 4
Como não existe interseção entre os conjuntos de fatores primos, o produto dos fatores comuns é vazio, ou seja, 1. Logo,
.
Resposta
V