Verdadeiro (V) ou Falso (F). Prove as verdadeiras e dê um contra-exemplo para as falsas.
Mostre que se m e n são inteiros positivos, então mdc(2^m, 3^n)=1

Passo 1

Resumo do enunciado: queremos decidir se é verdadeiro que gcd(2^m,3^n)=1 para inteiros positivos m e n. O conteúdo aqui é Teoria dos Números, em especial fatoração em primos e cálculo de máximo divisor comum.

Passo 2

Vamos usar a propriedade de que, ao fatorar dois números em primos, o gcd é o produto dos primos comuns elevados ao menor expoente comum. Se não há primo em comum, o gcd é 1.

Passo 3

Fatoramos cada potência: 2^m tem fator primo apenas 2, e 3^n tem fator primo apenas 3. Como 2 e 3 são primos distintos, não há nenhum fator primo em comum.

Passo 4

Como não existe interseção entre os conjuntos de fatores primos, o produto dos fatores comuns é vazio, ou seja, 1. Logo, gcd(2^m,3^n)=1.

Resposta

V

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