Diga, justificando, quais das seguintes afirmações são verdadeiras. No caso de uma afirmação ser falsa, indique um contraexemplo.
P 12.2. Sejam A e B duas matrizes n times n reais e simétricas.
a) A+B é simétrica.
b) A B é simétrica.
c) A B=B A.
d) A^k é simétrica para todo o k natural.

Passo 1

O enunciado pede para analisar quatro afirmações sobre duas matrizes reais A e B de ordem n que são simétricas. O conteúdo envolve propriedades de transposição e simetria:
– Sabemos que uma matriz M é simétrica se M^T=M.
– Vamos usar as regras de transposição de soma e produto: (A+B)^T=A^T+B^T e (AB)^T=B^T A^T.
– Também vamos lembrar que potências de matrizes se definem por multiplicações sucessivas.

Passo 2

Analisando a afirmação (a): “ A+B é simétrica.”
Pelo fato de A e B serem simétricas, temos
(A+B)^T = A^T + B^T = A + B,
logo (A+B)^T = A+B, isto é, A+B é simétrica.
Portanto a afirmação (a) é verdadeira.

Passo 3

Analisando a afirmação (b): “ AB é simétrica.”
Em geral
(AB)^T = B^T A^T = BA,
e não necessariamente BA=AB. Para ver que pode falhar, basta um contraexemplo em 2times 2. Por exemplo, sejam
A = 1 & 0 [6pt]0 & -1, B = 0 & 1 [6pt]1 & 0
Ambas são simétricas, mas
AB = 1 & 0 [3pt]0 & -1 0 & 1 [3pt]1 & 0 = 0 & 1 [3pt]-1 & 0,
e (AB)^T = 0 & -1 [3pt]1 & 0neq AB.
Logo AB nem sempre é simétrica, e a afirmação (b) é falsa.]

Passo 4

Analisando a afirmação (c): “ AB = BA.”
Em geral matrizes simétricas não comutam a menos que tenham bases de autovetores comuns. No exemplo do passo anterior, com
A=1&00&-1, B=0&11&0,
temos
AB=0&1-1&0, BA=0&-11&0,
e claramente ABneq BA.
Portanto a afirmação (c) é falsa.

Passo 5

Analisando a afirmação (d): “ A^k é simétrica para todo k natural.”
Fazendo por indução ou usando transposição repetida, temos para k=1 que A^1=A é simétrica. Supondo A^m simétrica,
(A^m+1)^T = (A^m A)^T = A^T (A^m)^T = A,A^m = A^m+1,
ou ainda diretamente
(A^k)^T = underbraceA^T A^T cdots A^Tk vezes = underbraceA A cdots Ak vezes = A^k
Logo todas as potências A^k são simétricas, e a afirmação (d) é verdadeira.

Resposta

a) Verdadeira.
b) Falsa. Contraexemplo com
A=1&00&-1,; B=0&11&0,
pois ABneq(AB)^T.
c) Falsa. Mesmo contraexemplo mostra ABneq BA.
d) Verdadeira. Potências de matriz simétrica são simétricas por transposição sucessiva.

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