Diga, justificando, quais das seguintes afirmações são verdadeiras. No caso de uma afirmação ser falsa, indique um contraexemplo.
P 12.2. Sejam e duas matrizes reais e simétricas.
a) é simétrica.
b) é simétrica.
c) .
d) é simétrica para todo o natural.
Passo 1
O enunciado pede para analisar quatro afirmações sobre duas matrizes reais e de ordem que são simétricas. O conteúdo envolve propriedades de transposição e simetria:
– Sabemos que uma matriz é simétrica se .
– Vamos usar as regras de transposição de soma e produto: e .
– Também vamos lembrar que potências de matrizes se definem por multiplicações sucessivas.
Passo 2
Analisando a afirmação (a): “ é simétrica.”
Pelo fato de e serem simétricas, temos
logo , isto é, é simétrica.
Portanto a afirmação (a) é verdadeira.
Passo 3
Analisando a afirmação (b): “ é simétrica.”
Em geral
e não necessariamente . Para ver que pode falhar, basta um contraexemplo em . Por exemplo, sejam
Ambas são simétricas, mas
e .
Logo nem sempre é simétrica, e a afirmação (b) é falsa.]
Passo 4
Analisando a afirmação (c): “.”
Em geral matrizes simétricas não comutam a menos que tenham bases de autovetores comuns. No exemplo do passo anterior, com
temos
e claramente .
Portanto a afirmação (c) é falsa.
Passo 5
Analisando a afirmação (d): “ é simétrica para todo natural.”
Fazendo por indução ou usando transposição repetida, temos para que é simétrica. Supondo simétrica,
ou ainda diretamente
Logo todas as potências A^k são simétricas, e a afirmação (d) é verdadeira.
Resposta
a) Verdadeira.
b) Falsa. Contraexemplo com
A=1&00&-1,; B=0&11&0,
pois ABneq(AB)^T.
c) Falsa. Mesmo contraexemplo mostra ABneq BA.
d) Verdadeira. Potências de matriz simétrica são simétricas por transposição sucessiva.