Sejam e . Ache a representação matricial para onde :
a) a base é .
b) a base é .

Passo 1

O enunciado define o espaço vetorial V = P3(t) (polinômios de grau <=3) e a transformação linear
Tcolon V to V, Tl(p(t)r) = ddtp(t)
Para encontrar a matriz de T em qualquer base B = b1,b2,b3,b4, basta:
1. Calcular T(bj) para j=1,dots,4.
2. Expressar cada T(bj) em coordenadas na base B.
3. Montar a matriz [T]B cujas colunas são essas coordenadas.

Passo 2

Base Ba = 1,;t,;t^2,;t^3.
1. T(1)=0. Em Ba: [0,0,0,0]^T.
2. T(t)=1. Em Ba: [1,0,0,0]^T.
3. T(t^2)=2t. Em Ba: [0,2,0,0]^T.
4. T(t^3)=3t^2. Em Ba: [0,0,3,0]^T.
Logo,
[T]Ba = 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 2 & 0 0 & 0 & 0 & 3 0 & 0 & 0 & 0

Passo 3

Base Bb = ,t^2,;t,;t^3,;1.
1. T(t^2)=2t. Em Bb: 2t = 0cdot t^2 +2cdot t +0cdot t^3 +0cdot1, vetor coluna [0,2,0,0]^T.
2. T(t)=1. Em Bb: [0,0,0,1]^T.
3. T(t^3)=3t^2. Em Bb: [3,0,0,0]^T.
4. T(1)=0. Em Bb: [0,0,0,0]^T.
Logo,
[T]Bb = 0 & 0 & 3 & 0 2 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 0 0 & 1 & 0 & 0

Resposta

a)
[T]1,t,t^2,t^3 = 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 2 & 0 0 & 0 & 0 & 3 0 & 0 & 0 & 0
b)
[T]t^2,t,t^3,1 = 0 & 0 & 3 & 0 2 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 0 0 & 1 & 0 & 0

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