Seja T(x, y)=(2 x, 3 x-2 y). Então ache a representação matricial de T onde :
a) a base é B=(1,0),(0,1).
b) a base é B=(1,2),(3,5).

Passo 1

O enunciado dá a transformação linear
Tcolon R^2 to R^2, T(x,y) = (2x,;3x-2y)
e pede a matriz de T em duas bases diferentes. Para representar uma transformação linear numa dada base, basta calcular as imagens dos vetores dessa base e expressá-las como coordenadas nessa mesma base.

Passo 2

Para a base B=(1,0),(0,1) (base canônica) calculamos
T(1,0) = (2cdot1,;3cdot1 - 2cdot0) = (2,3),
T(0,1) = (2cdot0,;3cdot0 - 2cdot1) = (0,-2)
Essas imagens já estão em coordenadas canônicas, logo
[T]B = 2 & 0 3 & -2

Passo 3

Agora usemos
Queremos achar escalares tais que
Isso gera o sistema
Resolvendo, obtemos . Logo a primeira coluna de é
.

Passo 4

Em seguida
Procuramos
o que leva ao sistema
Dessa vez . Assim a segunda coluna de é
.

Passo 5

Reunindo as colunas achadas, a matriz de T na base B' fica
[T]B' ;=; -13 & -33 5 & 13

Resposta

(a) [T]B = 2 & 03 & -2
(b) [T]B' = -13 & -335 & 13

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