Diga, justificando, quais dos seguintes conjuntos são espaços lineares (considere as operações usuais de adição e multiplicação por um número real).
{polinómios reais
que se anulam em
}
{polinómios reais
Passo 1
O enunciado pede para verificar se o conjunto
com as operações usuais de soma e multiplicação por escalar é um espaço vetorial sobre
.
O conteúdo aqui é determinar se é um subespaço de
, o espaço de todos os polinómios reais. Para isso, vamos usar o teste de subespaço: mostrar que
contém o polinómio zero, fecha-se sob soma e fecha-se sob multiplicação por escalar.
O conteúdo aqui é determinar se
Passo 2
Verificar que o polinómio zero pertence a
.
O polinómio zero é para todo
. Logo,
O polinómio zero é
e portanto
. Isso garante que
.
Passo 3
Verificar fechamento de
sob soma.
Sejam e
dois polinómios em
. Então
e
.
No polinómio soma , temos
Sejam
No polinómio soma
Logo
.
Passo 4
Verificar fechamento de
sob multiplicação por escalar.
Seja e
, ou seja,
.
No polinómio ,
Seja
No polinómio
Portanto
.
Passo 5
Como
contém o polinómio zero, é fechado sob soma e sob multiplicação por escalar, concluímos que
é um subespaço de
e, portanto, um espaço linear.
Resposta
O conjunto
é um espaço linear.