Diga, justificando, quais dos seguintes conjuntos são espaços lineares (considere as operações usuais de adição e multiplicação por um número real).
{polinómios reais p(x) que se anulam em x=1 }

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o conjunto
C = l,p(x)inR[x]mid p(1)=0r
com as operações usuais de soma e multiplicação por escalar é um espaço vetorial sobre R.
O conteúdo aqui é determinar se C é um subespaço de R[x], o espaço de todos os polinómios reais. Para isso, vamos usar o teste de subespaço: mostrar que C contém o polinómio zero, fecha-se sob soma e fecha-se sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Verificar que o polinómio zero pertence a C.
O polinómio zero é p0(x)=0 para todo x. Logo,
p0(1)=0,
e portanto p0in C. Isso garante que Cneqemptyset.

Passo 3

Verificar fechamento de C sob soma.
Sejam p e q dois polinómios em C. Então p(1)=0 e q(1)=0.
No polinómio soma p+q, temos
(p+q)(1)=p(1)+q(1)=0+0=0
Logo p+qin C.

Passo 4

Verificar fechamento de C sob multiplicação por escalar.
Seja alphainR e pin C, ou seja, p(1)=0.
No polinómio alpha p,
(alpha p)(1)=alphacdot p(1)=alphacdot 0=0
Portanto alpha pin C.

Passo 5

Como C contém o polinómio zero, é fechado sob soma e sob multiplicação por escalar, concluímos que C é um subespaço de R[x] e, portanto, um espaço linear.

Resposta

O conjunto p(x)inR[x]mid p(1)=0 é um espaço linear.

Exercícios relacionados