Seja Gn o subconjunto do espaço Mn das matrizes reais n times n formado pelas matrizes não-singulares.
(a) Seja A in Gn, B in Mn e C=A B. Mostre que as características das matrizes B e C são iguais.
(b) Mostre que A, B in Gn se e só se A B in Gn.

Passo 1

O enunciado define Gn como o conjunto das matrizes inversíveis (não-singulares) em Mn.
(a) Queremos mostrar que, para AinGn e C=AB, as “características” de B e C coincidem. Aqui vamos entender por características a dimensão do núcleo (nulidade) e a dimensão da imagem (posto) de cada transformação linear associada.
(b) Daí, usar essas igualdades de posto e nulidade para concluir que A,B são inversíveis se e somente se AB é inversível.

Passo 2

Mostramos primeiro que ker(C)=ker(B). De fato, para todo vetor xinR^n:
C,x = 0 ;Long<=ftrightarrow; A,(B,x)=0 ;Long<=ftrightarrow; B,x=0
onde usamos que A é inversível, então A,y=0 implica y=0. Isso prova
ker(C)=ker(B)

Passo 3

Como , a nulidade de e de coincide:
Pelo Teorema da Dimensão,
vale para qualquer transformação linear . Aplicando a e a obtemos
logo .

Passo 4

Para mostrar (b), note que
Mas , então , ou seja, é inversível. E como
também é produto de inversíveis, logo é inversível. Isso mostra que inversível implica inversíveis. A implicação direta (“se e são inversíveis então é inversível”) é imediata pelo fato de que o produto de matrizes inversíveis é inversível.

Resposta

(a) e, pelo Teorema da Dimensão, segue e .
(b) se e somente se , o que equivale a .

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