Seja
o subconjunto do espaço
das matrizes reais
formado pelas matrizes não-singulares.
(a) Seja
e
. Mostre que as características das matrizes
e
são iguais.
(b) Mostre que
se e só se
.
(a) Seja
(b) Mostre que
Passo 1
O enunciado define
como o conjunto das matrizes inversíveis (não-singulares) em
.
(a) Queremos mostrar que, para e
, as “características” de
e
coincidem. Aqui vamos entender por características a dimensão do núcleo (nulidade) e a dimensão da imagem (posto) de cada transformação linear associada.
(b) Daí, usar essas igualdades de posto e nulidade para concluir que são inversíveis se e somente se
é inversível.
(a) Queremos mostrar que, para
(b) Daí, usar essas igualdades de posto e nulidade para concluir que
Passo 2
Mostramos primeiro que
. De fato, para todo vetor
:
onde usamos que
é inversível, então
implica
. Isso prova
Passo 3
Como
, a nulidade de
e de
coincide:
Pelo Teorema da Dimensão,
vale para qualquer transformação linear
. Aplicando a
e a
obtemos
logo .
Passo 4
Para mostrar (b), note que
Mas , então , ou seja,
é inversível. E como
Resposta
(a)
e, pelo Teorema da Dimensão, segue e .
(b) se e somente se , o que equivale a
.
(b)