Indique, justificando, qual a dimensão dos seguintes espaços lineares, e, no caso de dimensão finita, indique uma base.
(x, y, z) in R^3: x+y=0

Passo 1

O enunciado pede a dimensão e uma base do subespaço
;S=(x,y,z)inR^3:x+y=0
O conteúdo é teoria de subespaços vetoriais em R^n: verificar a forma paramétrica, encontrar um gerador mínimo e checar independência linear.

Passo 2

Para caracterizar S, usamos a equação x+y=0, que dá y=-x. Logo todo vetor de S pode ser escrito como
(x,y,z) = (x,-x,z) = x,(1,-1,0) + z,(0,0,1)

Passo 3

Isso mostra que
S = span(1,-1,0),,(0,0,1),
ou seja, S é gerado pelos vetores (1,-1,0) e (0,0,1).

Passo 4

Verificamos que (1,-1,0) e (0,0,1) são linearmente independentes, pois não há escalares a,b (não simultaneamente nulos) tais que
a,(1,-1,0) + b,(0,0,1) = (0,0,0)
Isso implica ,a=0 e b=0. Assim, eles formam uma base de S e o número de vetores é a dimensão.

Resposta

A dimensão de S é 2 e uma base de S é
(1,-1,0),,(0,0,1)

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