Sejam
e
duas matrizes com características
e
, respectivamente. Em geral, o que é possível afirmar sobre a característica do produto
?
Passo 1
O enunciado pede para relacionar a “característica” de
e de
— que aqui corresponde ao posto (rank) de cada matriz, digamos
e
— com a característica do produto
. Vamos usar as noções de espaço-imagem e propriedades de posto.
Passo 2
Mostramos primeiro que
.
Para todo vetor ,
Para todo vetor
Logo
, e portanto
Passo 3
Agora provamos que
.
Usamos que e
Usamos que
Então
Passo 4
Combinando as duas desigualdades obtemos
Resposta
Em geral vale