Sejam A in Ml times m e B in Mm times n duas matrizes com características cA e cB, respectivamente. Em geral, o que é possível afirmar sobre a característica do produto A B ?

Passo 1

O enunciado pede para relacionar a “característica” de AinMltimes m e de BinMmtimes n — que aqui corresponde ao posto (rank) de cada matriz, digamos rank(A)=cA e rank(B)=cB — com a característica do produto AB. Vamos usar as noções de espaço-imagem e propriedades de posto.

Passo 2

Mostramos primeiro que rank(AB)<= rank(A).
Para todo vetor xinK^n,
AB,x ;=; A,(B,x)
Logo Im(AB)subseteq Im(A), e portanto
rank(AB) =diml(Im(AB)r) <= diml(Im(A)r) =rank(A)=cA

Passo 3

Agora provamos que rank(AB)<= rank(B).
Usamos que rank(M)=rank(M^T) e
(AB)^T=B^TA^T
Então
rank(AB) =rankl((AB)^Tr) =rank(B^TA^T) <= rank(B^T) =rank(B)=cB

Passo 4

Combinando as duas desigualdades obtemos
rank(AB)<= minl(rank(A),rank(B)r) Longrightarrow cAB<= min(cA,cB)

Resposta

Em geral vale
cAB<= min(cA,cB)

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