Diga, justificando, quais dos seguintes conjuntos são espaços lineares (considere as operações usuais de adição e multiplicação por um número real).
(x, y) in R^2: 2 x+y=0

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o conjunto
S = (x,y)in R^2:2x+y=0
é um subespaço (espaço linear) de R^2 com as operações usuais. Para isso, usamos o critério de subespaço: mostrar que (0,0)in S, que S é fechado sob soma e que é fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Verificamos se o vetor nulo pertence a S. Para (0,0),
2cdot 0 + 0 = 0,
logo (0,0) satisfaz a equação e (0,0)in S.

Passo 3

Mostramos que S é fechado sob soma. Sejam (x1,y1) e (x2,y2) em S. Então
2x1 + y1 = 0 e 2x2 + y2 = 0
Para a soma (x1+x2,y1+y2) temos
2(x1+x2) + (y1+y2) = (2x1+y1) + (2x2+y2) = 0 + 0 = 0,
portanto (x1+x2,y1+y2)in S.

Passo 4

Mostramos que S é fechado sob multiplicação por escalar. Seja alphain R e (x,y)in S, isto é, 2x+y=0. Então
2(alpha x) + (alpha y) = alpha,(2x+y) = alphacdot 0 = 0,
logo (alpha x,alpha y)in S.

Passo 5

Como (0,0)in S, S é fechado sob soma e fechado sob multiplicação por escalar, concluímos que S é um subespaço de R^2.

Resposta

O conjunto (x,y)in R^2:2x+y=0 é um espaço linear.

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