Diga, justificando, quais dos seguintes conjuntos são espaços lineares (considere as operações usuais de adição e multiplicação por um número real).
Passo 1
O enunciado pede para verificar se o conjunto
é um subespaço (espaço linear) de
com as operações usuais. Para isso, usamos o critério de subespaço: mostrar que
, que
é fechado sob soma e que é fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 2
Verificamos se o vetor nulo pertence a
. Para
,
logo
satisfaz a equação e
.
Passo 3
Mostramos que
é fechado sob soma. Sejam
e
em
. Então
Para a soma
temos
portanto
.
Passo 4
Mostramos que
é fechado sob multiplicação por escalar. Seja
e
, isto é,
. Então
logo
.
Passo 5
Como
,
é fechado sob soma e fechado sob multiplicação por escalar, concluímos que
é um subespaço de
.
Resposta
O conjunto
é um espaço linear.