Diga, justificando, quais dos seguintes conjuntos são espaços lineares (considere as operações usuais de adição e multiplicação por um número real).
(x, y) in R^2: x+y=2

Passo 1

O enunciado nos dá o conjunto
;S=(x,y)inR^2 : x+y=2
e pede para verificar se S é um espaço linear (subespaço de R^2) usando as operações usuais de soma e multiplicação por escalar. Para isso, basta checar se S contém o vetor nulo e se é fechado sob soma e multiplicação escalar.

Passo 2

Teste do vetor nulo:
Para (x,y)=(0,0) tem-se
x+y=0+0=0neq2
Logo (0,0)notin S. Como todo espaço vetorial deve conter o vetor nulo, S falha nesse requisito.

Resposta

O conjunto (x,y)inR^2 : x+y=2 não é um espaço linear, pois não contém o vetor nulo.

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