Sejam
e suponha que
.
(a) Prove que para todo o número real
se tem
e mostre através de exemplos que é possível ter igualdade em qualquer dos casos.
(b) Dadas duas matrizes
e
, será possível que existam números reais
e
para os quais se tenha
e
? Justifique.
(a) Prove que para todo o número real
(b) Dadas duas matrizes
Passo 1
Resumo do enunciado e conteúdo.
Temos com
(posto de
igual a 1).
(a) Mostrar que, para todo real ,
Temos
(a) Mostrar que, para todo real
e dar exemplos que atinjam cada uma das quatro possiblidades de igualdade.
(b) Pergunta se é possível escolher dois escalares e
tais que
(b) Pergunta se é possível escolher dois escalares
O conteúdo principal é a teoria de posto (rank) e o efeito de somar uma matriz de posto 1. Usaremos desigualdades de posto e construções de exemplos.
Passo 2
Prova das desigualdades de posto.
Seja . Como
, a soma
satisfaz:
Seja
- (Desigualdade superior)
pois
e vale sempre
.
2. (Desigualdade inferior)
2. (Desigualdade inferior)
Rearranjando,
Juntando as duas, obtemos
Passo 3
Exemplos que atingem as quatro igualdades.
- Igualdade “
para todo ”:
EscolhaEntão , , e tem posto sempre que , e posto se . - Igualdade “
para algum ”:
TomeAqui e para tem posto . - Igualdade “
para todo ”:
Basta repetir o Exemplo 1 porém comtal que colunas em complemento da imagem de . Exemplo Então para todo . - Igualdade “
para todo ”:
Basta usar o mesmo do item 1 e escolhersempre não nulo.
Passo 4
Análise da parte (b).
Queremos saber se podem existir tais que
Queremos saber se podem existir
Da prova do Passo 2, a única forma de descer o posto é encontrar
em que a soma cancele certas componentes, e a única forma de subir ao máximo é que, para todo
diferente desse valor especial, o posto fique em
. Concretamente, ao escrever
em função de
, só há um valor (no máximo um) em que ele foge de
— este mesmo valor é o que pode produzir o decaimento em
(ou simplesmente mantê-lo em
).
Portanto não é possível escolher dois valores distintos e
em que um produza decréscimo de posto de uma unidade e outro produza acréscimo de uma unidade.
Portanto não é possível escolher dois valores distintos
Resposta
(a) Válido que
pelas desigualdades de posto e existem exemplos que atingem cada caso.
(b) Não: para um único de posto 1 há, na variável
, no máximo um valor em que o posto cai — e em todos os outros o posto é
. Não há como ter duas raízes distintas que proporcionem, uma vez, queda e, outra vez, subida de posto.
(b) Não: para um único