Sejam A, X in Mm times n e suponha que car(X)=1.
(a) Prove que para todo o número real alpha se tem
car(A)-1 <= car(A+alpha X) <= car(A)+1,
e mostre através de exemplos que é possível ter igualdade em qualquer dos casos.
(b) Dadas duas matrizes A e X, será possível que existam números reais alpha1 e alpha2 para os quais se tenha car(A+alpha1 X)=car(A)-1 e car(A+alpha2 X)=car(A)+1 ? Justifique.

Passo 1

Resumo do enunciado e conteúdo.
Temos A,Xin Mmtimes n( R) com car(X)=1 (posto de X igual a 1).
(a) Mostrar que, para todo real alpha,
car(A)-1;<=;car(A+alpha X);<=;car(A)+1
e dar exemplos que atinjam cada uma das quatro possiblidades de igualdade.
(b) Pergunta se é possível escolher dois escalares alpha1 e alpha2 tais que
car(A+alpha1X)=car(A)-1 e car(A+alpha2X)=car(A)+1
O conteúdo principal é a teoria de posto (rank) e o efeito de somar uma matriz de posto 1. Usaremos desigualdades de posto e construções de exemplos.

Passo 2

Prova das desigualdades de posto.
Seja alphain R. Como car(X)=1, a soma A+alpha X satisfaz:
  1. (Desigualdade superior)
car(A+alpha X) ;<=; car(A);+;car(alpha X) ;=; car(A)+1,
pois car(alpha X)=car(X)=1 e vale sempre
car(M+N)<=car(M)+car(N).
2. (Desigualdade inferior)
car(A) ;=;carl((A+alpha X)-alpha Xr) ;<=; car(A+alpha X);+;car(alpha X) ;=; car(A+alpha X)+1
Rearranjando,
car(A)-1;<=;car(A+alpha X)
Juntando as duas, obtemos
car(A)-1;<=;car(A+alpha X);<=;car(A)+1

Passo 3

Exemplos que atingem as quatro igualdades.
  1. Igualdade “ car(A+alpha X)=car(A)!+!1 para todo alphane0”:
    Escolha A = 1&00&0, X = 0&10&0 Então car(A)=1, car(X)=1, e A+alpha X = 1&alpha0&0 tem posto 2 sempre que alphaneq0, e posto 1 se alpha=0.
  2. Igualdade “ car(A+alpha X)=car(A)!-!1 para algum alpha”:
    Tome A = 1&00&0, X = 1&00&0,(mesma direção) çãAqui car(A)=car(X)=1 e para alpha=-1 A+(-1)X = 0&00&0 tem posto 0=1-1.
  3. Igualdade “ car(A+alpha X)=car(A) para todo alpha”:
    Basta repetir o Exemplo 1 porém com X tal que colunas em complemento da imagem de A. Exemplo A=1&00&0, X=0&00&1 Então car(A+alpha X)=1 para todo alpha.
  4. Igualdade “ car(A+alpha X)=car(A)+1 para todo alpha”:
    Basta usar o mesmo do item 1 e escolher alpha sempre não nulo.

Passo 4

Análise da parte (b).
Queremos saber se podem existir alpha1neqalpha2 tais que
car(A+alpha1X)=car(A)-1 e car(A+alpha2X)=car(A)+1
Da prova do Passo 2, a única forma de descer o posto é encontrar alpha em que a soma cancele certas componentes, e a única forma de subir ao máximo é que, para todo alpha diferente desse valor especial, o posto fique em car(A)+1. Concretamente, ao escrever
car(A+alpha X) em função de alpha, só há um valor (no máximo um) em que ele foge de car(A)+1 — este mesmo valor é o que pode produzir o decaimento em car(A)-1 (ou simplesmente mantê-lo em car(A)).
Portanto não é possível escolher dois valores distintos alpha1 e alpha2 em que um produza decréscimo de posto de uma unidade e outro produza acréscimo de uma unidade.

Resposta

(a) Válido que
car(A)-1 <= car(A+alpha X)<= car(A)+1
pelas desigualdades de posto e existem exemplos que atingem cada caso.
(b) Não: para um único X de posto 1 há, na variável alpha, no máximo um valor em que o posto cai — e em todos os outros o posto é car(A)+1. Não há como ter duas raízes distintas que proporcionem, uma vez, queda e, outra vez, subida de posto.

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