Diga, justificando, quais dos seguintes conjuntos são espaços lineares (considere as operações usuais de adição e multiplicação por um número real).
(x, y) in R^2: x y=0

Passo 1

O enunciado nos dá o conjunto
S = (x,y)inR^2 : x,y = 0
e pergunta se S, com as operações usuais em R^2, é um espaço vetorial (subespaço de R^2). Para isso precisamos verificar os critérios de subespaço: presença do vetor zero, fechamento em adição e em multiplicação por escalar.

Passo 2

Verificamos se o vetor nulo de R^2, que é (0,0), pertence a S. Como
0 cdot 0 = 0,
segue que (0,0)in S.

Passo 3

Testamos fechamento em multiplicação por escalar. Seja (x,y)in S e alphainR. Temos x,y=0, então
(alpha x),(alpha y) = alpha^2,(x,y) = alpha^2cdot 0 = 0,
logo alpha,(x,y)in S. Portanto S é fechado para multiplicação por escalares.

Passo 4

Testamos fechamento em adição. Tomemos
u = (1,0)in Se v = (0,1)in S
pois 1cdot0=0 e 0cdot1=0. Porém
u + v = (1,0) + (0,1) = (1,1)
e
1cdot1 = 1 neq 0,
logo (1,1)notin S. Assim S não é fechado sob adição.

Resposta

O conjunto (x,y)inR^2 : x,y=0 não é um espaço vetorial porque não é fechado em adição.

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