Diga, justificando, quais dos seguintes conjuntos são espaços lineares (considere as operações usuais de adição e multiplicação por um número real).
(x, y, z) in R^3: x+2 y-z=0 wed>= x-2 y-z=0

Passo 1

O enunciado nos dá o conjunto
S = (x,y,z)inR^3 mid x+2y-z=0 ;wed>=; x-2y-z=0,
e pede para verificar se S é um espaço linear (subespaço) de R^3 com as operações usuais. O conteúdo envolve teoria de subespaços vetoriais e solução de sistemas lineares homogêneos.

Passo 2

Note que S é exatamente o conjunto solução de um sistema de equações lineares homogêneas. Em álgebra linear, o conjunto de soluções de
Av = 0
é sempre um subespaço de R^n. Aqui podemos ver
A = 1 & 2 & -1 1 & -2 & -1 ,
logo S = ker A, o que garante imediata fechamento em soma e multiplicação por escalar e a presença do vetor zero.

Passo 3

Para descrever S de forma mais explícita, resolvemos o sistema:
subtraindo a segunda equação da primeira obtemos
(x+2y-z) - (x-2y-z) = 4y = 0 ;Longrightarrow; y = 0
Substituindo y=0 em x+2y-z=0
x - z = 0 ;Longrightarrow; z = x

Passo 4

Portanto
S = (x,0,x)mid xinR = ,x,(1,0,1)mid xinR = span(1,0,1),
que é claramente um subespaço unidimensional de R^3.

Resposta

O conjunto dado é um espaço linear (subespaço) de R^3, especificamente a reta gerada por (1,0,1).

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