Diga, justificando, quais dos seguintes conjuntos são espaços lineares (considere as operações usuais de adição e multiplicação por um número real).
Conjunto das matrizes
Conjunto das matrizes
Passo 1
O enunciado pede para verificar se o conjunto de todas as matrizes
com entradas em
, equipado com a adição usual de matrizes e a multiplicação usual por escalares em
, é um espaço vetorial (espaço linear) sobre
. O conteúdo usado será a definição de espaço vetorial e a checagem de seus axiomas.
Passo 2
Recordando a definição, um conjunto
com operações “
” e “
” é um espaço vetorial sobre
se, para todo
e
, valem:
.
(fechamento da soma).
.
(fechamento da multiplicação escalar).
. Existe
tal que
.
. Para cada
existe
com
.
.
(comutatividade).
.
(associatividade da soma).
.
(distributividade escalar sobre soma em
).
.
(distributividade escalar sobre soma em
).
.
(associatividade escalar).
.
(elemento neutro escalar).
Passo 3
Fechamento da soma: se
e
são matrizes
, então
é bem definida e também uma matriz
. Logo
.
Fechamento da multiplicação escalar: se e
é
, então
é outra matriz
. Logo
.
Fechamento da multiplicação escalar: se
Passo 4
Elemento nulo e inverso aditivo: a matriz zero
definida por
satisfaz
. Para cada
, sua inversa aditiva é
com
, e vale
.
Passo 5
As demais propriedades (comutatividade e associatividade da soma, distributividades e associatividade do produto escalar, unidade escalar) seguem diretamente das respectivas propriedades em
aplicadas coordenada a coordenada.
Resposta
O conjunto de todas as matrizes
com entradas em
, equipado com as operações usuais, é de fato um espaço linear sobre
.