Diga, justificando, quais dos seguintes conjuntos são espaços lineares (considere as operações usuais de adição e multiplicação por um número real).
Conjunto das matrizes m times n

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o conjunto de todas as matrizes mtimes n com entradas em R, equipado com a adição usual de matrizes e a multiplicação usual por escalares em R, é um espaço vetorial (espaço linear) sobre R. O conteúdo usado será a definição de espaço vetorial e a checagem de seus axiomas.

Passo 2

Recordando a definição, um conjunto V com operações “ +” e “ cdot” é um espaço vetorial sobre R se, para todo u,v,win V e alpha,betainR, valem:
1. u+vin V (fechamento da soma).
2. alphacdot vin V (fechamento da multiplicação escalar).
3. Existe 0in V tal que v+0=v.
4. Para cada vin V existe -vin V com v+(-v)=0.
5. u+v=v+u (comutatividade).
6. (u+v)+w = u+(v+w) (associatividade da soma).
7. alphacdot(u+v)=alphacdot u + alphacdot v (distributividade escalar sobre soma em V).
8. (alpha+beta)cdot v = alphacdot v + betacdot v (distributividade escalar sobre soma em R).
9. (alphabeta)cdot v = alphacdot(betacdot v) (associatividade escalar).
10. 1cdot v = v (elemento neutro escalar).

Passo 3

Fechamento da soma: se A e B são matrizes mtimes n, então (A+B)ij=Aij+Bij é bem definida e também uma matriz mtimes n. Logo A+Bin R^mtimes n.
Fechamento da multiplicação escalar: se alphainR e A é mtimes n, então (alpha A)ij = alphacdot Aij é outra matriz mtimes n. Logo alpha Ain R^mtimes n.

Passo 4

Elemento nulo e inverso aditivo: a matriz zero 0 definida por 0ij=0 satisfaz A+0=A. Para cada A, sua inversa aditiva é -A com (-A)ij=-Aij, e vale A+(-A)=0.

Passo 5

As demais propriedades (comutatividade e associatividade da soma, distributividades e associatividade do produto escalar, unidade escalar) seguem diretamente das respectivas propriedades em R aplicadas coordenada a coordenada.

Resposta

O conjunto de todas as matrizes mtimes n com entradas em R, equipado com as operações usuais, é de fato um espaço linear sobre R.

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