Diga, justificando, quais dos seguintes conjuntos são espaços lineares (considere as operações usuais de adição e multiplicação por um número real).
Conjunto das matrizes
triangulares superiores não singulares
Passo 1
O enunciado pede para verificar se o conjunto
é um espaço vetorial sobre , usando as operações usuais de soma de matrizes e multiplicação por escalar.
Passo 2
Um requisito básico de espaço vetorial é conter o vetor zero (a matriz zero). A matriz zero é triangular superior, mas , logo . Como não contém o elemento neutro da adição, já falha em ser subespaço.
Passo 3
Outro requisito é o fechamento sob adição. Para , considere
Ambas são invertíveis e triangulares superiores, mas
A + B = 2 & 0 0 & 0
tem determinante zero, ou seja, A+Bnotin T. Logo T não é fechado sob adição.
Resposta
O conjunto das matrizes ntimes n triangulares superiores não singulares não é um espaço linear.