Diga, justificando, quais dos seguintes conjuntos são espaços lineares (considere as operações usuais de adição e multiplicação por um número real).
Conjunto das matrizes n times n
triangulares superiores não singulares

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o conjunto
T = lAinR^ntimes nmid A é triangular superior e det(A)neq 0r é
é um espaço vetorial sobre R, usando as operações usuais de soma de matrizes e multiplicação por escalar.

Passo 2

Um requisito básico de espaço vetorial é conter o vetor zero (a matriz zero). A matriz zero é triangular superior, mas det(0)=0, logo 0notin T. Como não contém o elemento neutro da adição, T já falha em ser subespaço.

Passo 3

Outro requisito é o fechamento sob adição. Para n=2, considere
A = 1 & 0 0 & 1, B = 1 & 0 0 & -1
Ambas são invertíveis e triangulares superiores, mas
A + B = 2 & 0 0 & 0
tem determinante zero, ou seja, A+Bnotin T. Logo T não é fechado sob adição.

Resposta

O conjunto das matrizes ntimes n triangulares superiores não singulares não é um espaço linear.

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