Diga, justificando, quais dos seguintes conjuntos são espaços lineares (considere as operações usuais de adição e multiplicação por um número real).
tem segunda derivada contínua e
Passo 1
O enunciado define o conjunto
onde
são dados. Queremos ver se
é um espaço vetorial sobre
, usando que é subconjunto do espaço vetorial
com as operações usuais de soma e multiplicação por escalar.
Passo 2
Verificamos se a função zero pertence a
. Seja
. Então
logo a função zero satisfaz a equação e está em
.
Passo 3
Verificamos a fechadura de
sob soma. Se
, então para todo
vale
Como
e
satisfazem a equação homogênea, cada parêntese é zero, e assim
portanto
.
Passo 4
Verificamos a fechadura de
sob multiplicação por escalar. Seja
e
. Então
logo
.
Passo 5
Como
contém a função zero, é fechado sob soma e fechado sob multiplicação por escalar, concluímos que
é subespaço vetorial de
, portanto é um espaço vetorial sobre
.
Resposta
O conjunto dado é um espaço vetorial (subespaço de
).