Diga, justificando, quais dos seguintes conjuntos são espaços lineares (considere as operações usuais de adição e multiplicação por um número real).
f: R R: f tem segunda derivada contínua e
& f^"(x)+a f^prime(x)+b f(x)=0 & onde a e b são dois números reais dados ãú

Passo 1

O enunciado define o conjunto
S = l,f:RtoRmid f tem segunda derivada contínua e f''(x)+a,f'(x)+b,f(x)=0 para todo xr, í
onde a,binR são dados. Queremos ver se S é um espaço vetorial sobre R, usando que é subconjunto do espaço vetorial C^2(R) com as operações usuais de soma e multiplicação por escalar.

Passo 2

Verificamos se a função zero pertence a S. Seja ,0colon xmapsto 0. Então
0''(x)+a,0'(x)+b,0(x)=0+ acdot 0 + bcdot 0 =0,
logo a função zero satisfaz a equação e está em S.

Passo 3

Verificamos a fechadura de S sob soma. Se f,gin S, então para todo x vale
(f+g)''(x) + a,(f+g)'(x) + b,(f+g)(x) = l(f''(x)+a,f'(x)+b,f(x)r) + l(g''(x)+a,g'(x)+b,g(x)r)
Como f e g satisfazem a equação homogênea, cada parêntese é zero, e assim
(f+g)''(x)+a,(f+g)'(x)+b,(f+g)(x)=0+0=0,
portanto f+gin S.

Passo 4

Verificamos a fechadura de S sob multiplicação por escalar. Seja lambdainR e fin S. Então
(lambda f)''(x)+a,(lambda f)'(x)+b,(lambda f)(x) =lambdal(f''(x)+a,f'(x)+b,f(x)r) =lambdacdot 0 = 0,
logo lambda fin S.

Passo 5

Como S contém a função zero, é fechado sob soma e fechado sob multiplicação por escalar, concluímos que S é subespaço vetorial de C^2(R), portanto é um espaço vetorial sobre R.

Resposta

O conjunto dado é um espaço vetorial (subespaço de C^2(R)).

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