Diga, justificando, quais dos seguintes conjuntos são espaços lineares (considere as operações usuais de adição e multiplicação por um número real).
f: R R: f tem segunda derivada contínua e
f^"(x)+a f^prime(x)+b f(x)=cos x, onde a e b são dois números reais dados.

Passo 1

O enunciado nos dá o conjunto
S = ,f: Rto Rmid f''(x)+a,f'(x)+b,f(x)=cos x,
com a,bin R. Queremos ver se S é subespaço vetorial de C^2( R) sob as operações usuais. Pelo critério de subespaço, basta verificar se 0in S e se S é fechado em soma e multiplicação escalar.

Passo 2

Verificação da função zero: seja f0(x)=0. Então
f0''(x)+a,f0'(x)+b,f0(x) =0neqcos x,
logo f0notin S. Portanto S já falha em conter o vetor zero.

Passo 3

Verificação de fechamento: se f,gin S, então
(f+g)''+a(f+g)'+b(f+g) =(f''+a f'+b f)+(g''+a g'+b g) =2cos xneqcos x,
logo f+gnotin S. De modo semelhante, lambda fnotin S para lambdaneq1.

Resposta

O conjunto dado não é um espaço linear.

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