Determine se os seguintes conjuntos de vectores são linearmente independentes ou não. Caso não o sejam, indique um subconjunto linearmente independente com o maior número possível de elementos e escreva os restantes como combinação linear desses vectores.
Em R^4, u1=(1,1,1,1), u2=(1,2,2,2), u3=(1,2,3,3) e u4=(1,2,3,4).

Passo 1

O enunciado dá quatro vetores em R^4:
u1=(1,1,1,1), u2=(1,2,2,2), u3=(1,2,3,3), u4=(1,2,3,4)
e pede para ver se eles são linearmente independentes. Para isso, vamos usar o conceito de posto de matriz: colocamos esses vetores como colunas de uma matriz A e aplicamos eliminação de Gauss para ver quantos pivôs aparecem. Se aparecerem 4 pivôs, só a combinação trivial anula, logo são independentes.

Passo 2

Formamos a matriz AinR^4times4 cujas colunas são u1,u2,u3,u4:
A= 1 & 1 & 1 & 1 1 & 2 & 2 & 2 1 & 2 & 3 & 3 1 & 2 & 3 & 4
Queremos resolver A,(c1,c2,c3,c4)^T=0 e checar se só a solução c1=c2=c3=c4=0 vale.

Passo 3

Aplicamos eliminação de Gauss em A:
1 & 1 & 1 & 1 1 & 2 & 2 & 2 1 & 2 & 3 & 3 1 & 2 & 3 & 4 ;xrightarrowRito Ri-R1,,i=2,3,4; 1 & 1 & 1 & 1 0 & 1 & 1 & 1 0 & 1 & 2 & 2 0 & 1 & 2 & 3
;xrightarrowR3to R3-R2,;R4to R4-R2; 1 & 1 & 1 & 1 0 & 1 & 1 & 1 0 & 0 & 1 & 1 0 & 0 & 1 & 2 ;xrightarrowR4to R4-R3; 1 & 1 & 1 & 1 0 & 1 & 1 & 1 0 & 0 & 1 & 1 0 & 0 & 0 & 1
Aqui temos pivôs nas colunas 1, 2, 3 e 4.

Passo 4

Como a forma triangular superior resultante tem 4 pivôs, o sistema A,c=0 só admite a solução trivial c1=c2=c3=c4=0. Isso significa que não existe combinação linear não-trivial que anule esses vetores.

Resposta

Os vetores u1,u2,u3,u4 são linearmente independentes em R^4.

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