Determine se os seguintes conjuntos de vectores são linearmente independentes ou não. Caso não o sejam, indique um subconjunto linearmente independente com o maior número possível de elementos e escreva os restantes como combinação linear desses vectores. e .
Passo 1
O enunciado dá quatro vetores em :
e pede para ver se eles são linearmente independentes. Para isso, vamos usar o conceito de posto de matriz: colocamos esses vetores como colunas de uma matriz e aplicamos eliminação de Gauss para ver quantos pivôs aparecem. Se aparecerem 4 pivôs, só a combinação trivial anula, logo são independentes.
Passo 2
Formamos a matriz cujas colunas são :
Queremos resolver A,(c1,c2,c3,c4)^T=0 e checar se só a solução c1=c2=c3=c4=0 vale.
Como a forma triangular superior resultante tem 4 pivôs, o sistema A,c=0 só admite a solução trivial c1=c2=c3=c4=0. Isso significa que não existe combinação linear não-trivial que anule esses vetores.
Resposta
Os vetores u1,u2,u3,u4 são linearmente independentes em R^4.