Diga, justificando, quais das seguintes transformações
são lineares. Nesses casos, calcule a matriz que representa a transformação em relação à base dos vectores coordenados unitários.
Passo 1
O enunciado define a transformação
O objetivo é (i) verificar se
é linear e, se for, (ii) determinar sua matriz em relação à base canônica
.
Passo 2
Para mostrar que
é linear, verificamos aditividade e homogeneidade. Sejam
e
. Então
e
Logo
. Para
,
Assim,
é linear.
Passo 3
A matriz de
na base canônica tem colunas dadas por
. Calculamos
Portanto a matriz é
Resposta
A transformação é linear e sua matriz na base canônica é