Diga, justificando, quais das seguintes transformações T: R^3 R^3 são lineares. Nesses casos, calcule a matriz que representa a transformação em relação à base dos vectores coordenados unitários.
T(x, y, z)=(z, x, y)

Passo 1

O enunciado define a transformação
T: R^3toR^3, T(x,y,z)=(z,x,y)
O objetivo é (i) verificar se T é linear e, se for, (ii) determinar sua matriz em relação à base canônica e1,e2,e3.

Passo 2

Para mostrar que T é linear, verificamos aditividade e homogeneidade. Sejam u=(x1,y1,z1) e v=(x2,y2,z2). Então
T(u+v)=T(x1+x2,,y1+y2,,z1+z2) =(z1+z2,,x1+x2,,y1+y2)
e
T(u)+T(v)=(z1,x1,y1)+(z2,x2,y2) =(z1+z2,,x1+x2,,y1+y2)
Logo T(u+v)=T(u)+T(v). Para lambdainR,
T(lambda u)=T(lambda x1,lambda y1,lambda z1) =(lambda z1,lambda x1,lambda y1) =lambda,(z1,x1,y1) =lambda,T(u)
Assim, T é linear.

Passo 3

A matriz de T na base canônica tem colunas dadas por T(e1),T(e2),T(e3). Calculamos
T(e1)=T(1,0,0)=(0,1,0), T(e2)=T(0,1,0)=(0,0,1), T(e3)=T(0,0,1)=(1,0,0)
Portanto a matriz é
A= 0 & 0 & 1 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0

Resposta

A transformação é linear e sua matriz na base canônica é
0 & 0 & 1 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0

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