Diga, justificando, quais das seguintes transformações T: R^3 R^3 são lineares. Nesses casos, calcule a matriz que representa a transformação em relação à base dos vectores coordenados unitários.
T(x, y, z)=(x-z, y-z, 0)

Passo 1

O enunciado dá a aplicação
Tcolon R^3toR^3, T(x,y,z)=(x - z,;y - z,;0)
e pede que verifiquemos se T é linear e, em caso afirmativo, que encontremos sua matriz em relação à base canônica de R^3. O conteúdo usado será a definição de transformação linear e a representação matricial via imagens dos vetores da base.

Passo 2

Lembrando que T é linear se, para quaisquer u,vinR^3 e escalar c, valem
  1. T(u+v)=T(u)+T(v),
  2. T(c,u)=c,T(u).

Passo 3

Sejam u=(x1,y1,z1) e v=(x2,y2,z2). Então
T(u+v)=T(x1+x2,;y1+y2,;z1+z2) =((x1+x2)-(z1+z2),,(y1+y2)-(z1+z2),,0)
=(x1-z1,;y1-z1,,0)+(x2-z2,;y2-z2,,0) =T(u)+T(v)
Para cinR,
T(c,u)=T(c x1,;c y1,;c z1) =(c x1-c z1,;c y1-c z1,,0) =c,(x1-z1,;y1-z1,,0) =c,T(u)
Logo, T é linear.

Passo 4

Para achar a matriz de T na base canônica, calculamos
T(e1)=T(1,0,0)=(1-0,,0-0,,0)=(1,0,0),
T(e2)=T(0,1,0)=(0-0,,1-0,,0)=(0,1,0),
T(e3)=T(0,0,1)=(0-1,,0-1,,0)=(-1,-1,0)
As colunas da matriz padrão são T(e1), T(e2) e T(e3).

Resposta

T é linear e sua matriz em relação à base canônica é
1 & 0 & -1 0 & 1 & -1 0 & 0 & 0

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