Seja V o espaço linear dos polinómios de variável real de grau menor ou igual a 3 , com as operações usuais de adição e multiplicação por um número real.
(a) Diga qual a dimensão de V e indique uma base ordenada. Justifique. Indique as coordenadas do polinómio (1-t)(1+t) nessa base.
(b) Considere o subconjunto S subset V dado por S=1-2 t, 1+t^2, t, 1+2 t-3 t^2, t^2. Diga, justificando, se S é linearmente independente.
(c) Diga qual a dimensão do espaço linear L(S), e determine uma base desse espaço. Justifique.
(d) Seja T o subconjunto de todos os polinómios de V que se anulam em 0. Diga se T é um subespaço linear. Em caso afirmativo, indique a sua dimensão e uma base. Justifique.

Passo 1

O enunciado trata do espaço vetorial dos polinómios em de grau .
(a) Pede dimensão de , uma base ordenada e as coordenadas do polinómio .
(b) Pede verificar se o conjunto
é linearmente independente.
(c) Pede a dimensão de e uma base.
(d) Pede analisar o subconjunto dos polinómios que se anulam em , e, se for subespaço, sua dimensão e base.

Passo 2

(a) É clássico que o espaço dos polinómios de grau <=3 tem dimensão 4, pois os monómios 1,t,t^2,t^3 são linharesmente independentes e geram todo o espaço. Logo uma base ordenada natural é
,1,;t,;t^2,;t^3
Para o polinómio
(1-t)(1+t)=1-t^2
vemos que ele se escreve na base acima como
1-t^2=1cdot1 + 0cdot t +(-1)cdot t^2 + 0cdot t^3
Portanto as coordenadas são l(1,0,-1,0r).

Passo 3

(b) Cada elemento de S tem coeficiente de t^3 igual a zero, logo todos vivem no subespaço dos polinómios de grau <=2, que tem dimensão 3. Como S tem 5 vetores num espaço de dimensão 3, necessariamente é linearmente dependente.

Passo 4

(c) A dimensão de span(S) é o número máximo de vetores independentes em S. Visto que span(S) é o espaço dos polinómios de grau <=2, temos diml(span(S)r)=3. Uma base conveniente é formada pelos monómios
,1,;t,;t^2,
ou ainda por qualquer subconjunto de três vetores independentes de S, por exemplo ,1-2t,;t,;t^2.

Passo 5

(d) O conjunto
T=,p in V mid p(0)=0
são os polinómios cujo termo constante é zero, i.e.\ p(t)=a1t+a2t^2+a3t^3. É fechamento sob soma e escalar, logo subespaço de V. Como esses polinómios formam um espaço de dimensão 3, uma base é
,t,;t^2,;t^3

Resposta

(a) dim V=4, base ordenada 1,t,t^2,t^3, coordenadas de (1-t)(1+t) são (1,0,-1,0).
(b) S é linearmente dependente.
(c) dim l(span(S)r)=3, base 1,t,t^2.
(d) T é subespaço de V, dim T=3, base t,t^2,t^3.

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