Seja
o espaço linear dos polinómios de variável real de grau menor ou igual a 3 , com as operações usuais de adição e multiplicação por um número real.
(a) Diga qual a dimensão de
e indique uma base ordenada. Justifique. Indique as coordenadas do polinómio
nessa base.
(b) Considere o subconjunto
dado por
. Diga, justificando, se
é linearmente independente.
(c) Diga qual a dimensão do espaço linear
, e determine uma base desse espaço. Justifique.
(d) Seja
o subconjunto de todos os polinómios de
que se anulam em 0. Diga se
é um subespaço linear. Em caso afirmativo, indique a sua dimensão e uma base. Justifique.
(a) Diga qual a dimensão de
(b) Considere o subconjunto
(c) Diga qual a dimensão do espaço linear
(d) Seja
Passo 1
O enunciado trata do espaço vetorial
dos polinómios em de grau
.
(a) Pede dimensão de , uma base ordenada e as coordenadas do polinómio
.
(b) Pede verificar se o conjunto
(a) Pede dimensão de
(b) Pede verificar se o conjunto
é linearmente independente.
(c) Pede a dimensão de e uma base.
(d) Pede analisar o subconjunto dos polinómios que se anulam em
, e, se for subespaço, sua dimensão e base.
(c) Pede a dimensão de
(d) Pede analisar o subconjunto
Passo 2
(a) É clássico que o espaço dos polinómios de grau
tem dimensão
, pois os monómios
são linharesmente independentes e geram todo o espaço. Logo uma base ordenada natural é
Para o polinómio
vemos que ele se escreve na base acima como
Portanto as coordenadas são
.
Passo 3
(b) Cada elemento de
tem coeficiente de
igual a zero, logo todos vivem no subespaço dos polinómios de grau
, que tem dimensão
. Como
tem
vetores num espaço de dimensão
, necessariamente é linearmente dependente.
Passo 4
(c) A dimensão de
é o número máximo de vetores independentes em
. Visto que
é o espaço dos polinómios de grau
, temos
. Uma base conveniente é formada pelos monómios
ou ainda por qualquer subconjunto de três vetores independentes de
, por exemplo
.
Passo 5
(d) O conjunto
são os polinómios cujo termo constante é zero, i.e.\
. É fechamento sob soma e escalar, logo subespaço de
. Como esses polinómios formam um espaço de dimensão
, uma base é
Resposta
(a)
, base ordenada
, coordenadas de
são
.
(b) é linearmente dependente.
(c) , base
.
(d) é subespaço de
,
, base
.
(b)
(c)
(d)