Seja
um espaço linear de dimensão finita
e
dois subespaços de
de dimensões
e
, respectivamente, e
, ou seja, o espaço que se obtém fazendo todas as combinações lineares finitas possíveis de elementos de
e
.
(a) Justifique que dado
então existem
e
tais que
.
(b) Mostre que se
então cada
determina os vectores
e
da alínea anterior de modo único.
(c) Mostre que se a dimensão de
é
, então
.
(d) O que pode concluir em relação a
se
? Justifique.
(a) Justifique que dado
(b) Mostre que se
(c) Mostre que se a dimensão de
(d) O que pode concluir em relação a
Passo 1
O enunciado trata da soma de dois subespaços
e
num espaço vetorial
de dimensão finita
. Denotamos
o subespaço gerado por todas as combinações lineares de vetores de
e
. Vamos usar a definição de soma de subespaços, a unicidade da decomposição em soma direta e o teorema da dimensão para subespaços:
Passo 2
(a) Por definição de soma de subespaços,
Isto significa exatamente que, dado
, existe pelo menos uma escrita
com
e
.
Passo 3
(b) Suponha
. Se tivermos duas decomposições
com
e
, então
O lado esquerdo pertence a
e o direito a
, logo essa diferença está em
. Como essa interseção é
, segue
e
. Portanto
e
, mostrando unicidade.
Passo 4
(c) Pelo teorema da dimensão para soma de subespaços,
Se
, onde
, então
Uma dimensão zero implica
.
Passo 5
(d) Se
, como
, pela fórmula
segue
Logo
, o que significa que
: a interseção contém vetores não nulos.
Resposta
(a) Imediato pela definição de
.
(b) Se , a decomposição em
é única.
(c) Se então
.
(d) Se , então
.
(b) Se
(c) Se
(d) Se