Seja E um espaço linear de dimensão finita n, S1 e S2 dois subespaços de E de dimensões n1 e n2, respectivamente, e V=S1+S2, ou seja, o espaço que se obtém fazendo todas as combinações lineares finitas possíveis de elementos de S1 e S2.
(a) Justifique que dado y in V então existem x1 in S1 e x2 in S2 tais que y=x1+x2.
(b) Mostre que se S1 cap S2=0 então cada y in V determina os vectores x1 e x2 da alínea anterior de modo único.
(c) Mostre que se a dimensão de V é n1+n2, então S1 cap S2=0.
(d) O que pode concluir em relação a S1 cap S2 se n1+n2>n ? Justifique.

Passo 1

O enunciado trata da soma de dois subespaços S1 e S2 num espaço vetorial E de dimensão finita n. Denotamos
V = S1 + S2
o subespaço gerado por todas as combinações lineares de vetores de S1 e S2. Vamos usar a definição de soma de subespaços, a unicidade da decomposição em soma direta e o teorema da dimensão para subespaços:
dim(S1 + S2) = dim S1 + dim S2 - dim(S1cap S2)

Passo 2

(a) Por definição de soma de subespaços,
V = ;x1+x2mid x1in S1,;x2in S2
Isto significa exatamente que, dado yin V, existe pelo menos uma escrita y=x1+x2 com x1in S1 e x2in S2.

Passo 3

(b) Suponha S1cap S2=0. Se tivermos duas decomposições
y = x1 + x2 = x1' + x2',
com x1,x1'in S1 e x2,x2'in S2, então
(x1-x1') = -(x2-x2')
O lado esquerdo pertence a S1 e o direito a S2, logo essa diferença está em S1cap S2. Como essa interseção é 0, segue x1-x1'=0 e x2-x2'=0. Portanto x1=x1' e x2=x2', mostrando unicidade.

Passo 4

(c) Pelo teorema da dimensão para soma de subespaços,
dim V = dim(S1+S2) = dim S1 + dim S2 - dim(S1cap S2)
Se dim V = n1+n2, onde ni=dim Si, então
n1+n2 = n1+n2 - dim(S1cap S2) Longrightarrow dim(S1cap S2)=0
Uma dimensão zero implica S1cap S2=0.

Passo 5

(d) Se n1+n2>n, como dim V<= dim E = n, pela fórmula
dim V = n1+n2 - dim(S1cap S2) <= n,
segue
dim(S1cap S2) = n1+n2 - dim V >= n1+n2-n >0
Logo dim(S1cap S2)>0, o que significa que S1cap S2neq0: a interseção contém vetores não nulos.

Resposta

(a) Imediato pela definição de S1+S2.
(b) Se S1cap S2=0, a decomposição em x1+x2 é única.
(c) Se dim(S1+S2)=n1+n2 então S1cap S2=0.
(d) Se n1+n2>n, então S1cap S2neq0.

Exercícios relacionados