Diga, justificando, quais das seguintes transformações T: R^3 R^3 são lineares. Nesses casos, calcule a matriz que representa a transformação em relação à base dos vectores coordenados unitários.
T(x, y, z)=(0, y, z)

Passo 1

O enunciado define a transformação
Tcolon R^3 to R^3, T(x,y,z) = (0,,y,,z)
O conteúdo é transformação linear: precisamos verificar aditividade e homogeneidade. Se for linear, devemos então encontrar a matriz de T na base canônica e1,e2,e3.

Passo 2

Verificação de linearidade:
1. Aditividade. Tomando u=(x1,y1,z1) e v=(x2,y2,z2),
T(u+v) = Tl(x1+x2,;y1+y2,;z1+z2r) = l(0,;y1+y2,;z1+z2r)
e
T(u)+T(v) = (0,y1,z1)+(0,y2,z2) = (0,;y1+y2,;z1+z2)
Logo T(u+v)=T(u)+T(v).
2. Homogeneidade. Para escalar alphainR,
T(alpha,u) = T(alpha x,;alpha y,;alpha z) = l(0,;alpha y,;alpha zr) = alpha,(0,y,z) = alpha,T(u)
Portanto T é linear.

Passo 3

Para achar a matriz, calculamos as imagens dos vetores da base canônica:
e1=(1,0,0), T(e1)=(0,0,0),
e2=(0,1,0), T(e2)=(0,1,0),
e3=(0,0,1), T(e3)=(0,0,1)
Colocando T(ei) como a i-ésima coluna, obtemos a matriz de T.

Resposta

A transformação T é linear e sua matriz na base canônica é
0 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1

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