Diga de que ordem são as EDOs a seguir. Verifique que a função dada é uma solução. (
são constantes arbitrárias).
sen
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: (1) dizer de que ordem é a EDO dada e (2) verificar que a função dada é uma solução da EDO.
As informações dadas são: a equação diferencial
As informações dadas são: a equação diferencial
e a função candidata
Passo 2
O que significa “ordem” de uma EDO? A ordem é o maior número de derivada de
que aparece na equação. Na equação dada aparecem
(segunda derivada),
(primeira derivada) e
(função). O maior é a segunda derivada, portanto a EDO é de ordem
Passo 3
Plano para verificar se
é solução: vamos calcular
e
e substituir na expressão
. Se a substituição der
para todo
, então
é solução. Antes de calcular, lembre das regras de derivação que usamos:
Passo 4
Calcule
. Tomando
e aplicando a regra do produto (com
e
):
Usando
e
, obtemos
Passo 5
Calcule
. Diferenciando
novamente por produto (agora
,
):
Temos
. Agora
. Portanto
Agrupando
em fator comum:
Simplificando a expressão entre parênteses:
Logo
Passo 6
Agora substituímos
em
. Cada termo tem o fator
, então escrevemos tudo em comum:
Somando:
Combine os termos dentro dos colchetes: para
temos
; para
temos
. Portanto o colchete é zero e
Como a soma dá zero para todo
, a função testada satisfaz a equação diferencial.
Passo 7
Conclusão final: a EDO é de ordem
e a função
é realmente uma solução, porque ao substituir as derivadas na equação obtemos
.
Resposta
Ordem:
A função é solução.
A função