Diga de que ordem são as EDOs a seguir. Verifique que a função dada é uma solução. ( a, b, c são constantes arbitrárias).
y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}+10 y=0, \quad y=4 e^{-x} sen 3 x

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (1) dizer de que ordem é a EDO dada e (2) verificar que a função dada é uma solução da EDO.
As informações dadas são: a equação diferencial
y'' + 2y' + 10y = 0
e a função candidata
y = 4 e^{-x}\sin 3x.

Passo 2

O que significa “ordem” de uma EDO? A ordem é o maior número de derivada de y que aparece na equação. Na equação dada aparecem y'' (segunda derivada), y' (primeira derivada) e y (função). O maior é a segunda derivada, portanto a EDO é de ordem
2.

Passo 3

Plano para verificar se y=4 e^{-x}\sin 3x é solução: vamos calcular y' e y'' e substituir na expressão y''+2y'+10y. Se a substituição der 0 para todo x, então y é solução. Antes de calcular, lembre das regras de derivação que usamos:
\text{(produto)}\quad (uv)' = u'v + uv',
\text{(cadeia)}\quad \frac{d}{dx}\big(e^{u(x)}\big)=u'(x)e^{u(x)},\qquad \frac{d}{dx}\big(\sin v(x)\big)=v'(x)\cos v(x).

Passo 4

Calcule y'. Tomando y=4 e^{-x}\sin 3x e aplicando a regra do produto (com u=e^{-x} e v=\sin 3x):
y' = 4\big( (e^{-x})' \sin 3x + e^{-x}(\sin 3x)'\big).
Usando (e^{-x})'=-e^{-x} e (\sin 3x)'=3\cos 3x, obtemos
y' = 4\big( -e^{-x}\sin 3x + e^{-x}\cdot 3\cos 3x\big) =4 e^{-x}\big(-\sin 3x + 3\cos 3x\big).

Passo 5

Calcule y''. Diferenciando y' = 4 e^{-x}\big(-\sin 3x + 3\cos 3x\big) novamente por produto (agora u=e^{-x}, w=-\sin 3x+3\cos 3x):
y''=4\big( (e^{-x})' w + e^{-x} w'\big).
Temos (e^{-x})'=-e^{-x}. Agora w' = (-\sin 3x)' + (3\cos 3x)' = -3\cos 3x + 3(-3\sin 3x) = -3\cos 3x -9\sin 3x. Portanto
y''=4\big( -e^{-x}(-\sin 3x+3\cos 3x) + e^{-x}(-3\cos 3x -9\sin 3x)\big).
Agrupando 4e^{-x} em fator comum:
y'' = 4 e^{-x}\big( -(-\sin 3x+3\cos 3x) + (-3\cos 3x -9\sin 3x)\big).
Simplificando a expressão entre parênteses:
-(-\sin 3x+3\cos 3x) + (-3\cos 3x -9\sin 3x) = \sin 3x -3\cos 3x -3\cos 3x -9\sin 3x
= (\sin 3x -9\sin 3x) + (-3\cos 3x -3\cos 3x) = -8\sin 3x -6\cos 3x.
Logo
y'' = 4 e^{-x}\big(-8\sin 3x -6\cos 3x\big).

Passo 6

Agora substituímos y'',\,y',\,y em y''+2y'+10y. Cada termo tem o fator 4e^{-x}, então escrevemos tudo em comum:
y'' = 4 e^{-x}(-8\sin 3x -6\cos 3x),
2y' = 2\cdot 4 e^{-x}(-\sin 3x +3\cos 3x)=4 e^{-x}(-2\sin 3x +6\cos 3x),
10y = 10\cdot 4 e^{-x}\sin 3x = 4 e^{-x}(10\sin 3x).
Somando:
y''+2y'+10y = 4 e^{-x}\big[(-8\sin 3x -6\cos 3x)+(-2\sin 3x +6\cos 3x)+(10\sin 3x)\big].
Combine os termos dentro dos colchetes: para \sin 3x temos -8-2+10=0; para \cos 3x temos -6+6=0. Portanto o colchete é zero e
y''+2y'+10y = 4 e^{-x}\cdot 0 = 0.
Como a soma dá zero para todo x, a função testada satisfaz a equação diferencial.

Passo 7

Conclusão final: a EDO é de ordem 2 e a função y=4 e^{-x}\sin 3x é realmente uma solução, porque ao substituir as derivadas na equação obtemos 0.

Resposta

Ordem: 2
A função y=4 e^{-x}\sin 3x é solução.

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