Determine o volume do sólido obtido com a rotação da região limitada por y=\sqrt{x} e pelas retas x=2 e x=0 em torno:
da reta $x=4.

Passo 1

O enunciado dá a região do plano limitada por \;y=\sqrt{x}\;, por \;x=0\; e por \;x=2\;, e pede o volume do sólido obtido ao girar essa região em torno da reta \;x=4\;.\n
Informações relevantes fornecidas:
  • Curva superior da região: \;y=\sqrt{x}\;.\n
  • Limites verticais da região: \;x=0\; e \;x=2\;.\n
  • Eixo de rotação: reta vertical \;x=4\;.\n
    Pergunta que o problema faz:
  • Calcular o volume do sólido gerado por essa rotação.

Passo 2

Escolha do método (explicação didática e motivação):\n
Quando giramos uma região em torno de uma reta vertical e a região é descrita naturalmente em função de x (aqui y dado em função de x), o método dos cascos cilíndricos é muito conveniente. Vou explicar o que é esse método de forma simples.\n
O método dos cascos cilíndricos imagina fatias verticais da região, em cada x uma fatia de espessura infinitesimal \;dx\;. Ao girar essa fatia em torno de \;x=4\;, ela descreve um “casco” cilíndrico fino. O volume de um desses cascos é aproximado por área da face lateral vezes espessura, isto é:
dV \approx (\text{circunferência do casco})\times(\text{altura})\times(\text{espessura}).ê
A circunferência é 2\pi vezes o raio (distância da fatia ao eixo), a altura é a altura da fatia (diferença entre as curvas superior e inferior), e a espessura é \;dx\;. Portanto a fórmula infinitesimal é
dV = 2\pi \cdot (\text{raio}) \cdot (\text{altura}) \cdot dx.
Vou aplicar isso passo a passo ao nosso caso.

Passo 3

Identificação de raio e altura das cascas no nosso problema:\n
  • Tomamos uma fatia vertical em abscissa \;x\; com 0\le x\le2.\n
  • Raio do casco (distância da linha x até o eixo de rotação x=4): \text{raio} = 4 - x.
  • Altura do casco (valor de y da curva superior menos o inferior). Aqui a região vai de y=0 até y=\sqrt{x}, logo: \text{altura} = \sqrt{x} - 0 = \sqrt{x}.
Assim o elemento de volume pelo método dos cascos é
dV = 2\pi(4-x)\sqrt{x}\,dx.

Passo 4

Montagem da integral para o volume total:\n
Somando todos os cascos para x de 0 a 2 obtemos
V = \int_{0}^{2} 2\pi(4-x)\sqrt{x}\,dx.
Posso tirar a constante 2\pi para fora da integral:
V = 2\pi \int_{0}^{2} (4-x)\sqrt{x}\,dx.

Passo 5

Simplificação do integrando escrevendo potências:\n
Lembre que \sqrt{x}=x^{1/2}. Então
(4-x)\sqrt{x} = 4x^{1/2} - x\cdot x^{1/2} = 4x^{1/2} - x^{3/2}.
Portanto a integral fica
V = 2\pi \int_{0}^{2} \big(4x^{1/2} - x^{3/2}\big)\,dx.

Passo 6

Cálculo das primitivas (a regra usada e explicação):\n
Usamos a regra de potências para integrar: para n\neq -1,
\int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C.
Aplicando termo a termo:
  • Para \;4x^{1/2}\;: \displaystyle \int 4x^{1/2}\,dx = 4\cdot\frac{x^{3/2}}{3/2} = 4\cdot\frac{2}{3}x^{3/2} = \frac{8}{3}x^{3/2}.\n
  • Para \;x^{3/2}\;: \displaystyle \int x^{3/2}\,dx = \frac{x^{5/2}}{5/2} = \frac{2}{5}x^{5/2}.\n
    Portanto a primitiva do integrando é
\frac{8}{3}x^{3/2} - \frac{2}{5}x^{5/2}.
Logo
V = 2\pi \left[ \frac{8}{3}x^{3/2} - \frac{2}{5}x^{5/2} \right]_{0}^{2}.

Passo 7

Avaliação dos limites da primitiva e simplificação numérica:\n
Primeiro calcule x^{3/2} e x^{5/2} em x=2:\n
  • \;2^{3/2} = 2\cdot\sqrt{2} = 2\sqrt{2}.\n
  • \;2^{5/2} = 2^{2}\cdot\sqrt{2} = 4\sqrt{2}.\n
    Substituindo em \displaystyle \frac{8}{3}x^{3/2} - \frac{2}{5}x^{5/2} para x=2:
\frac{8}{3}\cdot 2\sqrt{2} - \frac{2}{5}\cdot 4\sqrt{2} = \frac{16}{3}\sqrt{2} - \frac{8}{5}\sqrt{2}.
Colocando em fator comum \sqrt{2}:
\sqrt{2}\left(\frac{16}{3} - \frac{8}{5}\right).
Calcule o que está no parêntese com denominador comum 15:
\frac{16}{3} - \frac{8}{5} = \frac{16\cdot5 - 8\cdot3}{15} = \frac{80 - 24}{15} = \frac{56}{15}.
Logo a primitiva avaliada em 2 é \displaystyle \frac{56}{15}\sqrt{2}.\n
A primitiva avaliada em 0 é zero, pois contém potências positivas de x. Portanto
\left[ \frac{8}{3}x^{3/2} - \frac{2}{5}x^{5/2} \right]_{0}^{2} = \frac{56}{15}\sqrt{2}.

Passo 8

Resultado final multiplicando pela constante exterior:\n
Multiplicando por 2\pi:
V = 2\pi \cdot \frac{56}{15}\sqrt{2} = \frac{112}{15}\pi\sqrt{2}.
Podemos escrever de forma padrão como
V = \frac{112\sqrt{2}\,\pi}{15}.

Resposta

\displaystyle \frac{112\sqrt{2}\,\pi}{15}

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