Determine o volume do sólido obtido com a rotação da região limitada por
e pelas retas
e
em torno:
da reta $x=4.
da reta $x=4.
Passo 1
O enunciado dá a região do plano limitada por
, por
e por
, e pede o volume do sólido obtido ao girar essa região em torno da reta
.\n
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
- Curva superior da região:
.\n - Limites verticais da região:
e .\n - Eixo de rotação: reta vertical
.\n
Pergunta que o problema faz: - Calcular o volume do sólido gerado por essa rotação.
Passo 2
Escolha do método (explicação didática e motivação):\n
Quando giramos uma região em torno de uma reta vertical e a região é descrita naturalmente em função de (aqui
dado em função de
), o método dos cascos cilíndricos é muito conveniente. Vou explicar o que é esse método de forma simples.\n
O método dos cascos cilíndricos imagina fatias verticais da região, em cada uma fatia de espessura infinitesimal
. Ao girar essa fatia em torno de
, ela descreve um “casco” cilíndrico fino. O volume de um desses cascos é aproximado por área da face lateral vezes espessura, isto é:
Quando giramos uma região em torno de uma reta vertical e a região é descrita naturalmente em função de
O método dos cascos cilíndricos imagina fatias verticais da região, em cada
A circunferência é
vezes o raio (distância da fatia ao eixo), a altura é a altura da fatia (diferença entre as curvas superior e inferior), e a espessura é
. Portanto a fórmula infinitesimal é
Vou aplicar isso passo a passo ao nosso caso.
Passo 3
Identificação de raio e altura das cascas no nosso problema:\n
- Tomamos uma fatia vertical em abscissa
com .\n - Raio do casco (distância da linha
até o eixo de rotação ): - Altura do casco (valor de
da curva superior menos o inferior). Aqui a região vai de até , logo:
Assim o elemento de volume pelo método dos cascos é
Passo 4
Montagem da integral para o volume total:\n
Somando todos os cascos para de
a
obtemos
Somando todos os cascos para
Posso tirar a constante
para fora da integral:
Passo 5
Simplificação do integrando escrevendo potências:\n
Lembre que . Então
Lembre que
Portanto a integral fica
Passo 6
Cálculo das primitivas (a regra usada e explicação):\n
Usamos a regra de potências para integrar: para ,
Usamos a regra de potências para integrar: para
Aplicando termo a termo:
- Para
: \n - Para
: \n
Portanto a primitiva do integrando é
Logo
Passo 7
Avaliação dos limites da primitiva e simplificação numérica:\n
Primeiro calcule e
em
:\n
Primeiro calcule
-
\n -
\n
Substituindo empara :
Colocando em fator comum
:
Calcule o que está no parêntese com denominador comum
:
Logo a primitiva avaliada em
é
\n
A primitiva avaliada em é zero, pois contém potências positivas de
. Portanto
A primitiva avaliada em
Passo 8
Resultado final multiplicando pela constante exterior:\n
Multiplicando por :
Multiplicando por
Podemos escrever de forma padrão como