Diga porque podemos calcular a área de uma região do plano R cuja fronteira é dada pela curva gamma utilizando a integral (1 / 2) integralgamma x d y-y d x.

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos que a área da região R, cuja fronteira é a curva γ, pode ser obtida pela integral de linha tfrac12integralgamma x,dy - y,dx. Vamos usar o Teorema de Green para ligar integrais de linha a integrais duplas.

Passo 2

O Teorema de Green diz que ointgamma P,dx + Q,dy = integral duplaR l(partial Qpartial x - partial Ppartial yr),dA. Escolhemos
P = -y2, Q = x2,
porque assim
P,dx + Q,dy = -y2,dx + x2,dy = 12l(x,dy - y,dxr)

Passo 3

Agora calculamos as derivadas parciais:
partial Qpartial x = 12, partial Ppartial y = -12,
logo
partial Qpartial x - partial Ppartial y = 1

Passo 4

Finalmente, aplicando Green, obtemos
12ointgamma (x,dy - y,dx) = ointgamma P,dx + Q,dy = integral duplaR 1,dA = Área(R)Á

Resposta

Pelo Teorema de Green, com P=-y/2 e Q=x/2, a integral de linha tfrac12ointgamma(x,dy - y,dx) equivale a integral duplaR dA, isto é, à área de R.

Exercícios relacionados