Diga porque podemos calcular a área de uma região do plano
cuja fronteira é dada pela curva
utilizando a integral
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrarmos que a área da região R, cuja fronteira é a curva γ, pode ser obtida pela integral de linha
. Vamos usar o Teorema de Green para ligar integrais de linha a integrais duplas.
Passo 2
O Teorema de Green diz que
. Escolhemos
porque assim
Passo 3
Agora calculamos as derivadas parciais:
logo
Passo 4
Finalmente, aplicando Green, obtemos
Resposta
Pelo Teorema de Green, com
e
, a integral de linha
equivale a
, isto é, à área de
.