Encontre o valor da integral de g(z) em torno da curva fechada simples
|z-j|=2
orientada no sentido positivo quando,
g(z)=1z^2+4

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de contorno oint|z-j|=2g(z),dz com g(z)=1z^2+4. Vamos usar o Teorema dos Resíduos, que diz que para uma função meromorfa sobre uma curva fechada simples orientada positivamente, a integral vale 2pi i vezes a soma dos resíduos dos polos dentro da curva.

Passo 2

Primeiro, identificamos os polos de g(z) resolvendo z^2+4=0. As soluções são z=2i e z=-2i, que são polos simples.

Passo 3

Precisamos ver quais desses polos estão dentro de |z-j|=2. Como j=i, a distância de cada polo ao centro i é |2i - i|=1<2 para 2i e |-2i - i|=3>2 para -2i. Então apenas z=2i fica dentro da curva.

Passo 4

Agora calculemos o resíduo de g em z=2i. Como g(z)=1(z-2i)(z+2i), temos

Passo 5

Aplicando o Teorema dos Resíduos, obtemos
oint|z-j|=2g(z),dz=2pi il(14ir)=pi2

Resposta

pi2

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