Diga se é possível apresentar exemplos de sequências com as característias presentes em cada item abaixo. Em caso positivo, apresente dois exemplos. Em caso negativo, justifique.
Convergente e não-monótona.

Passo 1

O enunciado pede para dizer se é possível apresentar sequências que sejam convergentes e, ao mesmo tempo, não-monótonas. Se for possível, apresentar dois exemplos. Informações dadas: apenas a propriedade desejada (convergente) e a restrição contrária (não-monótona). A tarefa é responder se existe e, em caso afirmativo, fornecer dois exemplos.

Passo 2

Primeiro vamos lembrar, de forma bem clara e sem rodeios, o que significam os termos que vamos usar.
Definição de convergência de sequência:
Uma sequência (x_n) converge para um número L se, para todo \varepsilon>0, existe N\in\mathbb{N} tal que, para todo n\ge N, |x_n-L|<\varepsilon. Em palavras: a partir de um certo índice todos os termos ficam arbitrariamente próximos de L.
Definição de monotonicidade:
Uma sequência (x_n) é monótona crescente se x_{n+1}\ge x_n para todo n. É monótona decrescente se x_{n+1}\le x_n para todo n. Quando uma sequência não satisfaz nem a condição de ser sempre não-decreasing nem sempre não-increasing dizemos que ela não é monótona (ou simplesmente: não-monótona).

Passo 3

Intuição: convergência e monotonicidade são propriedades independentes. Existem sequências convergentes e monotônicas (por exemplo \tfrac{1}{n} que converge a 0 e é decrescente), mas também é perfeitamente possível que uma sequência convirja e ainda oscile (suba e desça), ou mude de sinal, etc. A seguir apresento dois exemplos simples, com provas curtas de convergência e de que não são monotônicas.

Passo 4

Exemplo 1: defina a_n=\dfrac{(-1)^n}{n}.
Prova de convergência:
Observe que |a_n|=\dfrac{1}{n}. Como \dfrac{1}{n}\to 0 quando n\to\infty, pelo teorema do confronto (ou porque o módulo tende a zero), temos a_n\to 0. Em notação: para todo \varepsilon>0 escolha N>\dfrac{1}{\varepsilon}; então, para n\ge N, |a_n-0|=|a_n|=\dfrac{1}{n}\le\dfrac{1}{N}<\varepsilon. Logo a_n converge para 0.
Prova de não-monotonicidade:
Calcule alguns termos iniciais: a_1=\dfrac{(-1)^1}{1}=-1, a_2=\dfrac{1}{2}=0,5, a_3=-\dfrac{1}{3}\approx-0,33. Vê-se que a_1<a_2 (a sequência sobe de n=1 para n=2) e a_2>a_3 (desce de n=2 para n=3). Portanto não é nem crescente nem decrescente — logo é não-monótona.

Passo 5

Exemplo 2: defina b_n=\dfrac{1+(-1)^n}{n}.
Observação estrutural:
Para n ímpar temos (-1)^n=-1 e, portanto, b_n=0. Para n par temos (-1)^n=1 e b_n=\dfrac{2}{n}. Assim a sequência tem termos b_1=0,\; b_2=1,\; b_3=0,\; b_4=\tfrac{1}{2},\; b_5=0,\; b_6=\tfrac{1}{3},\ldots
Prova de convergência:
Para todo n vale 0\le b_n\le \dfrac{2}{n}. Como \dfrac{2}{n}\to 0 quando n\to\infty, pelo crivo (teorema do aperto) segue que b_n\to 0.
Prova de não-monotonicidade:
Compare termos: b_1=0 e b_2=1 mostram que a sequência sobe de n=1 para n=2. Em seguida b_3=0<b_2 mostra que ela desce de n=2 para n=3. Portanto não é crescente nem decrescente, isto é, é não-monótona.

Passo 6

Resumo rápido do porquê esses exemplos são bons:
  • Ambos convergem para 0.
  • Ambos apresentam variações (subidas e descidas, ou alternância de sinais) suficientes para impedir que satisfaçam a definição de monotonicidade em todo o domínio natural.
    Isto mostra que é possível ter sequências convergentes e não-monótonas.

Resposta

\displaystyle a_n=\frac{(-1)^n}{n}
\displaystyle b_n=\frac{1+(-1)^n}{n}

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