Diga se é possível apresentar exemplos de sequências com as característias presentes em cada item abaixo. Em caso positivo, apresente dois exemplos. Em caso negativo, justifique.
Convergente e não-monótona.
Convergente e não-monótona.
Passo 1
O enunciado pede para dizer se é possível apresentar sequências que sejam convergentes e, ao mesmo tempo, não-monótonas. Se for possível, apresentar dois exemplos. Informações dadas: apenas a propriedade desejada (convergente) e a restrição contrária (não-monótona). A tarefa é responder se existe e, em caso afirmativo, fornecer dois exemplos.
Passo 2
Primeiro vamos lembrar, de forma bem clara e sem rodeios, o que significam os termos que vamos usar.
Definição de convergência de sequência:
Uma sequência converge para um número
se, para todo
, existe
tal que, para todo
,
. Em palavras: a partir de um certo índice todos os termos ficam arbitrariamente próximos de
.
Uma sequência
Definição de monotonicidade:
Uma sequência é monótona crescente se
para todo
. É monótona decrescente se
para todo
. Quando uma sequência não satisfaz nem a condição de ser sempre não-decreasing nem sempre não-increasing dizemos que ela não é monótona (ou simplesmente: não-monótona).
Uma sequência
Passo 3
Intuição: convergência e monotonicidade são propriedades independentes. Existem sequências convergentes e monotônicas (por exemplo
que converge a
e é decrescente), mas também é perfeitamente possível que uma sequência convirja e ainda oscile (suba e desça), ou mude de sinal, etc. A seguir apresento dois exemplos simples, com provas curtas de convergência e de que não são monotônicas.
Passo 4
Exemplo 1: defina
.
Prova de convergência:
Observe que . Como
quando
, pelo teorema do confronto (ou porque o módulo tende a zero), temos
. Em notação: para todo
escolha
; então, para
,
. Logo
converge para
.
Observe que
Prova de não-monotonicidade:
Calcule alguns termos iniciais: ,
,
. Vê-se que
(a sequência sobe de
para
) e
(desce de
para
). Portanto não é nem crescente nem decrescente — logo é não-monótona.
Calcule alguns termos iniciais:
Passo 5
Exemplo 2: defina
.
Observação estrutural:
Para ímpar temos
e, portanto,
. Para
par temos
e
. Assim a sequência tem termos
Para
Prova de convergência:
Para todo vale
. Como
quando
, pelo crivo (teorema do aperto) segue que
.
Para todo
Prova de não-monotonicidade:
Compare termos: e
mostram que a sequência sobe de
para
. Em seguida
mostra que ela desce de
para
. Portanto não é crescente nem decrescente, isto é, é não-monótona.
Compare termos:
Passo 6
Resumo rápido do porquê esses exemplos são bons:
- Ambos convergem para
. - Ambos apresentam variações (subidas e descidas, ou alternância de sinais) suficientes para impedir que satisfaçam a definição de monotonicidade em todo o domínio natural.
Isto mostra que é possível ter sequências convergentes e não-monótonas.