Diga se é possível apresentar exemplos de sequências com as característias presentes em cada item abaixo. Em caso positivo, apresente dois exemplos. Em caso negativo, justifique.
Convergente e não-monótona.
Convergente e não-monótona.
Passo 1
O enunciado pede: dizer se é possível apresentar exemplos de sequências que sejam convergentes e não-monótonas.
Se for possível, apresentar dois exemplos; se não for, justificar por que não.
Não há dados numéricos adicionais no enunciado.
Se for possível, apresentar dois exemplos; se não for, justificar por que não.
Não há dados numéricos adicionais no enunciado.
Passo 2
Primeiro, vou explicar direitinho o que significam as palavras-chave (assim você não fica perdido na prova).
-
Sequência: é uma função cujo domínio é os inteiros positivos. Escrevemos uma sequência como
ou simplesmente , onde cada é um número real. -
Convergente: a sequência
converge para um número (escrevemos ) se, intuitivamente, os termos ficam arbitrariamente perto de quando é grande. Formalmente: para todo existe tal que, para todo , . -
Monótona: uma sequência é monótona crescente (ou não-decrecente) se, para todo
, . É monótona decrescente (ou não-increcente) se, para todo , . Se não satisfaz nenhuma das duas propriamente para todo , dizemos que NÃO é monótona.
Observação útil (teorema clássico): toda sequência monótona e limitada converge. Atenção: o recíproco NÃO é verdadeiro — convergência não implica monotonicidade. Vou demonstrar isso com exemplos concretos (é exatamente o que o problema pede).
Passo 3
Estratégia para construir exemplos: criar sequências que convergem (por exemplo, para
) mas que os termos “oscilem” (subam e desçam) ao longo de
. Oscilar não impede que os termos se aproxiem de
; por exemplo, termos com sinal alternado e módulo decrescente tendem a
. Vou dar dois exemplos simples e mostrar, passo a passo, por que cada um converge e por que não é monótono.
Passo 4
Considere a sequência
definida por
Mostrando convergência para
:
- Note que
. Como , pelas propriedades de limite (ou pelo teorema do confronto), segue que .
Mostrando que não é monótona:
- Para
ímpar temos e . Como , nos índices ímpares a passagem é um aumento. - Para
par temos e . Aqui , logo nos índices pares há uma diminuição. - Como em alguns passos a sequência sobe e em outros desce, não existe uma única direção monotônica válida para todos os
. Portanto não é monótona.
Um exemplo numérico rápido para ver na prática:
— claramente oscila, embora todos os termos tendam a
.
Passo 5
Considere a sequência
definida por
Vamos entender essa fórmula:
- Se
é ímpar, e então . - Se
é par, e então .
Mostrando convergência para
:
- Para
ímpar temos . Para par temos e . Portanto, independentemente da paridade, . Formalmente, .
Mostrando que não é monótona:
- Tome
ímpar. Então e . Assim (um aumento). - Tome
par. Então e (uma diminuição). - Logo a sequência tem passos de aumento e passos de diminuição alternados; não é monótona.
Sequência numérica:
— aproxima-se de
mas não é monotônica.
Passo 6
- Conclusão: é possível ter sequências convergentes que não sejam monótonas. Dei dois exemplos explícitos:
e , ambos convergindo para e ambos não-monótonos. - Dica prática: na prova, se pedirem um exemplo de sequência convergente não-monótona, use uma sequência com módulo que vai a
e com oscilações de sinal ou valores que alternam (isso torna fácil mostrar convergência pelo confronto e mostrar falta de monotonicidade verificando dois índices com desigualdades opostas).
Força aí — você já tem as ferramentas para construir muitos outros exemplos semelhantes!
Resposta
Sim. Exemplos: