Diga se é possível apresentar exemplos de sequências com as característias presentes em cada item abaixo. Em caso positivo, apresente dois exemplos. Em caso negativo, justifique.
Convergente e não-monótona.

Passo 1

O enunciado pede: dizer se é possível apresentar exemplos de sequências que sejam convergentes e não-monótonas.
Se for possível, apresentar dois exemplos; se não for, justificar por que não.
Não há dados numéricos adicionais no enunciado.

Passo 2

Primeiro, vou explicar direitinho o que significam as palavras-chave (assim você não fica perdido na prova).
  • Sequência: é uma função cujo domínio é os inteiros positivos. Escrevemos uma sequência como (x_n)_{n\ge 1} ou simplesmente (x_n), onde cada x_n é um número real.
  • Convergente: a sequência (x_n) converge para um número L (escrevemos \lim_{n\to\infty} x_n = L) se, intuitivamente, os termos x_n ficam arbitrariamente perto de L quando n é grande. Formalmente: para todo \varepsilon>0 existe N tal que, para todo n\ge N, |x_n-L|<\varepsilon.
  • Monótona: uma sequência é monótona crescente (ou não-decrecente) se, para todo n, x_{n+1}\ge x_n. É monótona decrescente (ou não-increcente) se, para todo n, x_{n+1}\le x_n. Se não satisfaz nenhuma das duas propriamente para todo n, dizemos que NÃO é monótona.
Observação útil (teorema clássico): toda sequência monótona e limitada converge. Atenção: o recíproco NÃO é verdadeiro — convergência não implica monotonicidade. Vou demonstrar isso com exemplos concretos (é exatamente o que o problema pede).

Passo 3

Estratégia para construir exemplos: criar sequências que convergem (por exemplo, para 0) mas que os termos “oscilem” (subam e desçam) ao longo de n. Oscilar não impede que os termos se aproxiem de 0; por exemplo, termos com sinal alternado e módulo decrescente tendem a 0. Vou dar dois exemplos simples e mostrar, passo a passo, por que cada um converge e por que não é monótono.

Passo 4

Considere a sequência (a_n) definida por
a_n = \frac{(-1)^n}{n}.
Mostrando convergência para 0:
  • Note que |a_n| = \dfrac{1}{n}. Como \lim_{n\to\infty} \dfrac{1}{n}=0, pelas propriedades de limite (ou pelo teorema do confronto), segue que \lim_{n\to\infty} a_n = 0.
Mostrando que não é monótona:
  • Para n ímpar temos a_n = -\dfrac{1}{n} e a_{n+1} = \dfrac{1}{n+1}. Como -\dfrac{1}{n} < \dfrac{1}{n+1}, nos índices ímpares a passagem a_n \to a_{n+1} é um aumento.
  • Para n par temos a_n = \dfrac{1}{n} e a_{n+1} = -\dfrac{1}{n+1}. Aqui -\dfrac{1}{n+1} < \dfrac{1}{n}, logo nos índices pares há uma diminuição.
  • Como em alguns passos a sequência sobe e em outros desce, não existe uma única direção monotônica válida para todos os n. Portanto (a_n) não é monótona.
Um exemplo numérico rápido para ver na prática: a_1=-1,\\ a_2=\tfrac{1}{2},\\ a_3=-\tfrac{1}{3},\\ a_4=\tfrac{1}{4},\dots — claramente oscila, embora todos os termos tendam a 0.

Passo 5

Considere a sequência (b_n) definida por
b_n = \frac{1+(-1)^n}{n}.
Vamos entender essa fórmula:
  • Se n é ímpar, (-1)^n=-1 e então b_n=\dfrac{1-1}{n}=0.
  • Se n é par, (-1)^n=1 e então b_n=\dfrac{1+1}{n}=\dfrac{2}{n}.
Mostrando convergência para 0:
  • Para n ímpar temos b_n=0. Para n par temos b_n=\dfrac{2}{n} e \lim_{n\to\infty}\dfrac{2}{n}=0. Portanto, independentemente da paridade, b_n\to 0. Formalmente, \lim_{n\to\infty} b_n = 0.
Mostrando que não é monótona:
  • Tome n ímpar. Então b_n=0 e b_{n+1}=\dfrac{2}{n+1}>0. Assim b_{n+1}>b_n (um aumento).
  • Tome n par. Então b_n=\dfrac{2}{n} e b_{n+1}=0<b_n (uma diminuição).
  • Logo a sequência tem passos de aumento e passos de diminuição alternados; não é monótona.
Sequência numérica: b_1=0,\\ b_2=1,\\ b_3=0,\\ b_4=\tfrac{1}{2},\\ b_5=0,\\ b_6=\tfrac{1}{3},\dots — aproxima-se de 0 mas não é monotônica.

Passo 6

  • Conclusão: é possível ter sequências convergentes que não sejam monótonas. Dei dois exemplos explícitos: \displaystyle a_n=\frac{(-1)^n}{n} e \displaystyle b_n=\frac{1+(-1)^n}{n}, ambos convergindo para 0 e ambos não-monótonos.
  • Dica prática: na prova, se pedirem um exemplo de sequência convergente não-monótona, use uma sequência com módulo que vai a 0 e com oscilações de sinal ou valores que alternam (isso torna fácil mostrar convergência pelo confronto e mostrar falta de monotonicidade verificando dois índices com desigualdades opostas).
Força aí — você já tem as ferramentas para construir muitos outros exemplos semelhantes!

Resposta

Sim. Exemplos:
\displaystyle a_n=\frac{(-1)^n}{n}
\displaystyle b_n=\frac{1+(-1)^n}{n}

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