Diga se é possível apresentar exemplos de sequências com as característias presentes em cada item abaixo. Em caso positivo, apresente dois exemplos. Em caso negativo, justifique.
Limitada e divergente.

Passo 1

O enunciado pede para dizer se é possível apresentar sequências que sejam ao mesmo tempo limitadas e divergentes. Se for possível, devo dar dois exemplos; se não for possível, justificar por que não. As informações dadas são apenas a característica desejada: “limitada e divergente”.

Passo 2

Definição de sequência limitada (explicando devagarinho).
Uma sequência (x_n) é dita limitada se existe um número real M>0 tal que
|x_n|\le M\quad\text{para todo }n\in\mathbb{N}.
Isto quer dizer: todos os termos da sequência ficam dentro do intervalo [-M,M]. Exemplo simples: se todos os termos são 0 ou 1, então M=1 funciona.

Passo 3

Definição de sequência convergente e divergente (com cuidado).
A sequência (x_n) converge para L (escrevemos \lim_{n\to\infty} x_n=L) se, para todo \varepsilon>0, existe N\in\mathbb{N} tal que
|x_n-L|<\varepsilon\quad\text{para todo }n\ge N.
Se não existe nenhum L que satisfaça essa propriedade, dizemos que a sequência é divergente. Então “divergente” significa simplesmente “não converge”.

Passo 4

Como mostrar que uma sequência é limitada e divergente na prática (estratégia que dá certo em prova).
  • Para provar que (x_n) é limitada: encontrar um número M e mostrar que |x_n|\le M para todo n.
  • Para provar que (x_n) é divergente: uma maneira muito simples é encontrar duas subsequências que convergem para limites diferentes. Regra útil: se (x_{n_k})\to L_1 e (x_{m_k})\to L_2 com L_1\neq L_2, então (x_n) não pode convergir (pois uma sequência só pode ter um único limite). Isso é fácil de usar em provas de prova.

Passo 5

Exemplo 1 — definição e verificação passo a passo.
Considere a sequência
a_n = (-1)^n.
  • Mostrar que é limitada: para todo n tem-se |a_n|=|(-1)^n|=1. Então basta escolher M=1 e temos |a_n|\le 1 para todo n. Logo (a_n) é limitada.
  • Mostrar que é divergente: separamos em duas subsequências:
    • termos com n par: para n=2k tem-se a_{2k}=(-1)^{2k}=1. Assim a subsequência (a_{2k}) é constante igual a 1, então \lim_{k\to\infty} a_{2k}=1.
    • termos com n ímpar: para n=2k+1 tem-se a_{2k+1}=(-1)^{2k+1}=-1. Assim \lim_{k\to\infty} a_{2k+1}=-1.
      Como existem duas subsequências com limites distintos ( 1 e -1), a sequência original não pode ter limite único; portanto (a_n) diverge.
      Observação alternativa (contradição \varepsilon- N): suponha que (a_n) convergisse para algum L. Tome \varepsilon=\tfrac{1}{2}. Para n grandes os termos teriam de ficar dentro de (L-\tfrac{1}{2},L+\tfrac{1}{2}), mas existem infinitos termos iguais a 1 e infinitos iguais a -1, que não podem ficar ambos próximos de um mesmo L quando \varepsilon=\tfrac{1}{2}. Logo contradição.

Passo 6

Exemplo 2 — definição e verificação passo a passo.
Considere a sequência
b_n = \frac{1-(-1)^n}{2}.
Esta fórmula dá b_n=0 quando n é par e b_n=1 quando n é ímpar. Agora verificar:
  • Limitada: para todo n vale 0\le b_n\le 1, então podemos escolher M=1 e |b_n|\le 1 para todo n. Logo é limitada.
  • Divergente: as subsequências formadas por índices pares e por índices ímpares têm limites distintos:
    • para n=2k temos b_{2k}=0, logo \lim_{k\to\infty} b_{2k}=0.
    • para n=2k+1 temos b_{2k+1}=1, logo \lim_{k\to\infty} b_{2k+1}=1.
      Como as subsequências convergem para 0 e 1, diferentes, a sequência (b_n) não converge; logo diverge.

Passo 7

Conclusão e observação final curta e motivadora.
Portanto é plenamente possível ter sequências limitadas e divergentes. As duas construções acima são exemplos simples e típicos (sequências que “oscilem” entre dois valores distintos). Uma observação útil para a prova: mesmo que uma sequência seja limitada, o Teorema de Bolzano–Weierstrass garante apenas que existem subsequências convergentes — isso não força a convergência da sequência inteira. Força aí, essa ideia de procurar subsequências é a ferramenta-chave para mostrar divergência em muitos exercícios.

Resposta

Sim. Dois exemplos:
a_n = (-1)^n
b_n = \frac{1-(-1)^n}{2}

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