Diga se é possível apresentar exemplos de sequências com as característias presentes em cada item abaixo. Em caso positivo, apresente dois exemplos. Em caso negativo, justifique.
Limitada e divergente.
Limitada e divergente.
Passo 1
O enunciado pede para dizer se é possível apresentar sequências que sejam ao mesmo tempo limitadas e divergentes. Se for possível, devo dar dois exemplos; se não for possível, justificar por que não. As informações dadas são apenas a característica desejada: “limitada e divergente”.
Passo 2
Definição de sequência limitada (explicando devagarinho).
Uma sequência é dita limitada se existe um número real
tal que
Uma sequência
Isto quer dizer: todos os termos da sequência ficam dentro do intervalo
. Exemplo simples: se todos os termos são
ou
, então
funciona.
Passo 3
Definição de sequência convergente e divergente (com cuidado).
A sequência converge para
(escrevemos
) se, para todo
, existe
tal que
A sequência
Se não existe nenhum
que satisfaça essa propriedade, dizemos que a sequência é divergente. Então “divergente” significa simplesmente “não converge”.
Passo 4
Como mostrar que uma sequência é limitada e divergente na prática (estratégia que dá certo em prova).
- Para provar que
é limitada: encontrar um número e mostrar que para todo . - Para provar que
é divergente: uma maneira muito simples é encontrar duas subsequências que convergem para limites diferentes. Regra útil: se e com , então não pode convergir (pois uma sequência só pode ter um único limite). Isso é fácil de usar em provas de prova.
Passo 5
Exemplo 1 — definição e verificação passo a passo.
Considere a sequência
Considere a sequência
- Mostrar que é limitada: para todo
tem-se . Então basta escolher e temos para todo . Logo é limitada. - Mostrar que é divergente: separamos em duas subsequências:
- termos com
par: para tem-se . Assim a subsequência é constante igual a , então . - termos com
ímpar: para tem-se . Assim .
Como existem duas subsequências com limites distintos (e ), a sequência original não pode ter limite único; portanto diverge.
Observação alternativa (contradição- ): suponha que convergisse para algum . Tome . Para grandes os termos teriam de ficar dentro de , mas existem infinitos termos iguais a e infinitos iguais a , que não podem ficar ambos próximos de um mesmo quando . Logo contradição.
- termos com
Passo 6
Exemplo 2 — definição e verificação passo a passo.
Considere a sequência
Considere a sequência
Esta fórmula dá
quando
é par e
quando
é ímpar. Agora verificar:
- Limitada: para todo
vale , então podemos escolher e para todo . Logo é limitada. - Divergente: as subsequências formadas por índices pares e por índices ímpares têm limites distintos:
- para
temos , logo . - para
temos , logo .
Como as subsequências convergem parae , diferentes, a sequência não converge; logo diverge.
- para
Passo 7
Conclusão e observação final curta e motivadora.
Portanto é plenamente possível ter sequências limitadas e divergentes. As duas construções acima são exemplos simples e típicos (sequências que “oscilem” entre dois valores distintos). Uma observação útil para a prova: mesmo que uma sequência seja limitada, o Teorema de Bolzano–Weierstrass garante apenas que existem subsequências convergentes — isso não força a convergência da sequência inteira. Força aí, essa ideia de procurar subsequências é a ferramenta-chave para mostrar divergência em muitos exercícios.
Portanto é plenamente possível ter sequências limitadas e divergentes. As duas construções acima são exemplos simples e típicos (sequências que “oscilem” entre dois valores distintos). Uma observação útil para a prova: mesmo que uma sequência seja limitada, o Teorema de Bolzano–Weierstrass garante apenas que existem subsequências convergentes — isso não força a convergência da sequência inteira. Força aí, essa ideia de procurar subsequências é a ferramenta-chave para mostrar divergência em muitos exercícios.
Resposta
Sim. Dois exemplos: