Diga se é possível apresentar exemplos de sequências com as característias presentes em cada item abaixo. Em caso positivo, apresente dois exemplos. Em caso negativo, justifique.
limitada e crescente.
limitada e crescente.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que foi dado:
- Pedido: dizer se é possível apresentar exemplos de sequências que sejam simultaneamente limitadas e crescentes.
- Ações solicitadas: se for possível, apresentar dois exemplos; se não for, justificar por que não.
- Informação explícita: só essas duas propriedades (“limitada” e “crescente”) — não há restrição adicional (como ser estritamente crescente, ou ter certa forma).
Passo 2
Definições precisas (muito importantes para a prova; decore a ideia):
- Sequência limitada: uma sequência
é limitada se existe um número real tal que para todo . Outra forma equivalente é dizer que existe limite superior e limite inferior tais que para todo . - Sequência crescente (no sentido usual em análises elementares):
é crescente quando, para todo , vale . Atenção: isto permite igualdade (ou seja, não é necessário ser estritamente crescente). Se precisar de “estritamente crescente” isso seria para todo .
Dica prática para a prova: para checar que uma sequência é crescente, calcule a diferença
e mostre que essa diferença é
para todo
. Para verificar que é limitada, encontre um
com
e um
com
para todo
.
Passo 3
Exemplo 1 — construir e verificar passo a passo:
- Proposta: considere a sequência
dada por
- Verificar que é crescente: calcule a diferença
Como
para todo
, segue que
. Portanto
é estritamente crescente (logo também crescente).
- Verificar que é limitada: para todo
tem . Além disso, e para todo vale . Logo a sequência está limitada inferiormente por e limitada superiormente por . Assim é limitada.
Comentário didático: esta é uma sequência muito usada em provas porque é simples de manipular e mostra claramente monotonia e limite.
Passo 4
Exemplo 2 — outro exemplo com verificação:
- Proposta: considere a sequência
definida por
- Verificar que é crescente: calcule a diferença
Como
para todo
, segue
. Logo
é estritamente crescente.
- Verificar que é limitada: para todo
tem (pelo menos para ), então e também . Logo para todo , isto é, a sequência é limitada.
Observação extra (útil na prova): sequências crescentes e limitadas acima convergem (teorema da convergência monotônica). Para
o limite é
; para
também o limite é
.
Passo 5
Outras observações rápidas e truques de prova:
- Se a questão pedir exemplos que não sejam estritamente crescentes, uma sequência constante (por exemplo
para todo ) também é crescente (no sentido não estrito) e limitada — bom lembrar isso caso a palavra “crescente” seja interpretada como não-decrecente. - Em uma prova curta, basta mostrar a diferença
e apresentar um par de cotas (superior e inferior) para justificar que a sequência é limitada. - Força aí! Essas contas são curtas e diretas na prova — memorize o padrão: sequências da forma
com ou são ótimos exemplos de sequências crescentes e limitadas.