Diga se é possível apresentar exemplos de sequências com as característias presentes em cada item abaixo. Em caso positivo, apresente dois exemplos. Em caso negativo, justifique.
limitada e crescente.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que foi dado:
  • Pedido: dizer se é possível apresentar exemplos de sequências que sejam simultaneamente limitadas e crescentes.
  • Ações solicitadas: se for possível, apresentar dois exemplos; se não for, justificar por que não.
  • Informação explícita: só essas duas propriedades (“limitada” e “crescente”) — não há restrição adicional (como ser estritamente crescente, ou ter certa forma).

Passo 2

Definições precisas (muito importantes para a prova; decore a ideia):
  • Sequência limitada: uma sequência (x_n) é limitada se existe um número real M>0 tal que |x_n| \le M para todo n. Outra forma equivalente é dizer que existe limite superior U e limite inferior L tais que L \le x_n \le U para todo n.
  • Sequência crescente (no sentido usual em análises elementares): (x_n) é crescente quando, para todo n, vale x_{n+1} \ge x_n. Atenção: isto permite igualdade (ou seja, não é necessário ser estritamente crescente). Se precisar de “estritamente crescente” isso seria x_{n+1}>x_n para todo n.
Dica prática para a prova: para checar que uma sequência é crescente, calcule a diferença
x_{n+1}-x_n
e mostre que essa diferença é \ge 0 para todo n. Para verificar que é limitada, encontre um U com x_n\le U e um L com x_n\ge L para todo n.

Passo 3

Exemplo 1 — construir e verificar passo a passo:
  • Proposta: considere a sequência (a_n) dada por
a_n = 1 - \dfrac{1}{n}.
  • Verificar que é crescente: calcule a diferença
a_{n+1}-a_n = \left(1-\dfrac{1}{n+1}\right)-\left(1-\dfrac{1}{n}\right) = \dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n+1} = \dfrac{1}{n(n+1)}.
Como \dfrac{1}{n(n+1)}>0 para todo n\in\mathbb{N}, segue que a_{n+1}-a_n>0. Portanto (a_n) é estritamente crescente (logo também crescente).
  • Verificar que é limitada: para todo n tem a_n = 1-\dfrac{1}{n} < 1. Além disso, a_1=0 e para todo n vale a_n\ge 0. Logo a sequência está limitada inferiormente por 0 e limitada superiormente por 1. Assim (a_n) é limitada.
Comentário didático: esta é uma sequência muito usada em provas porque é simples de manipular e mostra claramente monotonia e limite.

Passo 4

Exemplo 2 — outro exemplo com verificação:
  • Proposta: considere a sequência (b_n) definida por
b_n = 1 - \left(\dfrac{1}{2}\right)^n.
  • Verificar que é crescente: calcule a diferença
b_{n+1}-b_n = \left(1-\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n+1}\right) - \left(1-\left(\dfrac{1}{2}\right)^n\right) = \left(\dfrac{1}{2}\right)^n - \left(\dfrac{1}{2}\right)^{n+1} = \left(\dfrac{1}{2}\right)^n\!\left(1-\dfrac{1}{2}\right) = \dfrac{1}{2^{\,n+1}}.
Como \dfrac{1}{2^{\,n+1}}>0 para todo n, segue b_{n+1}-b_n>0. Logo (b_n) é estritamente crescente.
  • Verificar que é limitada: para todo n tem 0<\left(\dfrac{1}{2}\right)^n\le \dfrac{1}{2} (pelo menos para n\ge1), então b_n=1-(1/2)^n<1 e também b_n>0. Logo 0<b_n<1 para todo n, isto é, a sequência é limitada.
Observação extra (útil na prova): sequências crescentes e limitadas acima convergem (teorema da convergência monotônica). Para a_n o limite é 1; para b_n também o limite é 1.

Passo 5

Outras observações rápidas e truques de prova:
  • Se a questão pedir exemplos que não sejam estritamente crescentes, uma sequência constante (por exemplo c_n=5 para todo n) também é crescente (no sentido não estrito) e limitada — bom lembrar isso caso a palavra “crescente” seja interpretada como não-decrecente.
  • Em uma prova curta, basta mostrar a diferença \ge0 e apresentar um par de cotas (superior e inferior) para justificar que a sequência é limitada.
  • Força aí! Essas contas são curtas e diretas na prova — memorize o padrão: sequências da forma L - r^n com |r|<1 ou L - 1/n são ótimos exemplos de sequências crescentes e limitadas.

Resposta

a_n=1-\dfrac{1}{n}
b_n=1-\left(\dfrac{1}{2}\right)^n

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