Diga se é possível apresentar exemplos de sequências com as característias presentes em cada item abaixo. Em caso positivo, apresente dois exemplos. Em caso negativo, justifique.
Convergente e ilimitada.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se existe uma sequência que satisfaça simultaneamente as duas propriedades abaixo:
  • \text{convergente};
  • \text{ilimitada}.
Se for possível, apresentar dois exemplos; se não for possível, justificar por que não existe tal sequência.

Passo 2

Vou enunciar uma propriedade fundamental que será usada na justificativa: se uma sequência real (a_n) converge para um limite L\in\mathbb{R}, então a sequência é limitada. Em outras palavras, convergência implica limitação. Vou provar essa afirmação passo a passo (essa prova é curta e é a razão pela qual não existe sequência simultaneamente convergente e ilimitada).

Passo 3

Prova formal de que convergência implica limitação.
Seja (a_n) uma sequência tal que
\lim_{n\to\infty} a_n = L
para algum L\in\mathbb{R}.
Escolha \varepsilon = 1. Pela definição de limite, existe um inteiro N tal que, para todo n\ge N,
|a_n - L| < 1.
Da desigualdade acima segue, por desigualdade triangular, que para todo n\ge N
|a_n| \le |a_n - L| + |L| < 1 + |L|.
Ou seja, todos os termos da sequência a partir do índice N estão dentro do intervalo (-1-|L|,\;1+|L|).
Os índices n=1,2,\dots,N-1 formam um conjunto finito, logo os valores |a_1|,\dots,|a_{N-1}| têm um máximo finito; defina
M_0 = \max\{\,|a_1|,\dots,|a_{N-1}|\,\},
com a convenção M_0=0 se N=1.
Agora defina
M = \max\{M_0,\;1+|L|\}.
Pelo que foi mostrado, para todo n vale |a_n|\le M. Portanto (a_n) é limitada.

Passo 4

Conclusão lógica: como qualquer sequência convergente em \mathbb{R} é necessariamente limitada, NÃO existe sequência de números reais que seja ao mesmo tempo convergente e ilimitada. Assim, o pedido de apresentar exemplos é impossível.
Observação útil e tranquilizadora: sequências que crescem sem limite, como a_n = n ou a_n = (-1)^n n, são ilimitadas, mas NÃO são convergentes (elas divergem para +\infty, -\infty ou oscilam sem limite finito). É comum confundir “tender a infinito” com “convergir”, mas na teoria clássica de sequências reais isso são comportamentos distintos.

Passo 5

Resumo curto e amigo: não se preocupe — a regra é simples e muito usada em provas rápidas: se a sequência converge, está automaticamente limitada; portanto não dá para ter uma sequência que seja simultaneamente convergente e ilimitada.

Resposta

Não é possível.

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