Diga se é possível apresentar exemplos de sequências com as característias presentes em cada item abaixo. Em caso positivo, apresente dois exemplos. Em caso negativo, justifique.
Convergente e ilimitada.
Convergente e ilimitada.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se existe uma sequência que satisfaça simultaneamente as duas propriedades abaixo:
-
; -
.
Se for possível, apresentar dois exemplos; se não for possível, justificar por que não existe tal sequência.
Passo 2
Vou enunciar uma propriedade fundamental que será usada na justificativa: se uma sequência real
converge para um limite
, então a sequência é limitada. Em outras palavras, convergência implica limitação. Vou provar essa afirmação passo a passo (essa prova é curta e é a razão pela qual não existe sequência simultaneamente convergente e ilimitada).
Passo 3
Prova formal de que convergência implica limitação.
Seja
uma sequência tal que
para algum
.
Escolha
. Pela definição de limite, existe um inteiro
tal que, para todo
,
Da desigualdade acima segue, por desigualdade triangular, que para todo
Ou seja, todos os termos da sequência a partir do índice
estão dentro do intervalo
.
Os índices
formam um conjunto finito, logo os valores
têm um máximo finito; defina
com a convenção
se
.
Agora defina
Pelo que foi mostrado, para todo
vale
. Portanto
é limitada.
Passo 4
Conclusão lógica: como qualquer sequência convergente em
é necessariamente limitada, NÃO existe sequência de números reais que seja ao mesmo tempo convergente e ilimitada. Assim, o pedido de apresentar exemplos é impossível.
Observação útil e tranquilizadora: sequências que crescem sem limite, como
ou
, são ilimitadas, mas NÃO são convergentes (elas divergem para
,
ou oscilam sem limite finito). É comum confundir “tender a infinito” com “convergir”, mas na teoria clássica de sequências reais isso são comportamentos distintos.
Passo 5
Resumo curto e amigo: não se preocupe — a regra é simples e muito usada em provas rápidas: se a sequência converge, está automaticamente limitada; portanto não dá para ter uma sequência que seja simultaneamente convergente e ilimitada.
Resposta
Não é possível.