Diga se é possível apresentar exemplos de sequências com as característias presentes em cada item abaixo. Em caso positivo, apresente dois exemplos. Em caso negativo, justifique.
Convergente e ilimitada.
Convergente e ilimitada.
Passo 1
O enunciado pergunta se é possível existir uma sequência que seja simultaneamente convergente e ilimitada. Ou seja:
- Pergunta: existe alguma sequência
tal que converge e ao mesmo tempo é ilimitada? - Informação dada: só o enunciado da propriedade (convergente) e (ilimitada); não há outras hipóteses.
Vou decidir se isso é possível e, se não for, justificar rigorosamente.
Passo 2
Definições (vamos fixar a notação e entender o que cada termo significa).
- Uma sequência
converge para significa, por definição, que
isto é, para todo
existe
tal que, para todo
,
Aqui
é o limite;
é qualquer número positivo pequeno;
depende de
.
- Uma sequência
é limitada (ou acotada) se existe tal que, para todo ,
Dizemos que é ilimitada se não existe tal
; equivalentemente,
é ilimitada se para todo
existe
com
.
Passo 3
Estratégia do argumento: mostrar que toda sequência convergente é necessariamente limitada. Se isso for verdade, então não pode existir sequência que seja ao mesmo tempo convergente e ilimitada. Vou provar a afirmação “convergente
limitada” de forma direta, usando a definição
-
.
Passo 4
Prova: seja
uma sequência real que converge para
, isto é,
Tomemos
. Pela definição de convergência, existe
tal que, para todo
,
Passo 5
Aplicando a desigualdade triangular:
para ,
para
Logo, todos os termos com índice
satisfazem
.
Passo 6
Os termos com índices
são um número finito de valores. Seja
que existe pois é máximo de um conjunto finito. Defina
Então, para todo
temos
. Portanto
é limitada.
Passo 7
Conclusão lógica: como qualquer sequência convergente é limitada (prova acima), não existe sequência que seja ao mesmo tempo convergente e ilimitada. Em outras palavras, o caso pedido é impossível.
Passo 8
Para fixar a intuição com exemplos didáticos (não pedidos, mas úteis): sequências convergentes conhecidas são necessariamente limitadas; por exemplo
-
converge para e satisfaz para todo . -
converge para e satisfaz para todo .
Esses exemplos ilustram que convergência traz consigo a propriedade de que os termos ficam próximos do limite e, assim, não podem “ir para infinito” — por isso não podem ser ilimitadas.
Resposta
Não é possível.