Diga se é possível apresentar exemplos de sequências com as característias presentes em cada item abaixo. Em caso positivo, apresente dois exemplos. Em caso negativo, justifique.
Convergente e ilimitada.

Passo 1

O enunciado pergunta se é possível existir uma sequência que seja simultaneamente convergente e ilimitada. Ou seja:
  • Pergunta: existe alguma sequência (a_n) tal que (a_n) converge e ao mesmo tempo é ilimitada?
  • Informação dada: só o enunciado da propriedade (convergente) e (ilimitada); não há outras hipóteses.
    Vou decidir se isso é possível e, se não for, justificar rigorosamente.

Passo 2

Definições (vamos fixar a notação e entender o que cada termo significa).
  • Uma sequência (a_n) converge para L significa, por definição, que
\lim_{n\to\infty} a_n = L
isto é, para todo \varepsilon>0 existe N\in\mathbb{N} tal que, para todo n\ge N,
|a_n-L|<\varepsilon.
Aqui L\in\mathbb{R} é o limite; \varepsilon é qualquer número positivo pequeno; N depende de \varepsilon.
  • Uma sequência (a_n) é limitada (ou acotada) se existe M>0 tal que, para todo n\in\mathbb{N},
|a_n|\le M.
Dizemos que é ilimitada se não existe tal M; equivalentemente, (a_n) é ilimitada se para todo M>0 existe n com |a_n|>M.

Passo 3

Estratégia do argumento: mostrar que toda sequência convergente é necessariamente limitada. Se isso for verdade, então não pode existir sequência que seja ao mesmo tempo convergente e ilimitada. Vou provar a afirmação “convergente \Rightarrow limitada” de forma direta, usando a definição \varepsilon- N.

Passo 4

Prova: seja (a_n) uma sequência real que converge para L, isto é,
\lim_{n\to\infty} a_n = L.
Tomemos \varepsilon=1. Pela definição de convergência, existe N\in\mathbb{N} tal que, para todo n\ge N,
|a_n - L| < 1.

Passo 5

Aplicando a desigualdade triangular:
para n\ge N,
|a_n| = |a_n - L + L| \le |a_n - L| + |L| < 1 + |L|.
Logo, todos os termos com índice n\ge N satisfazem |a_n|\le |L|+1.

Passo 6

Os termos com índices 1,2,\dots,N-1 são um número finito de valores. Seja
M_0 = \max\{|a_1|,|a_2|,\dots,|a_{N-1}|\},
que existe pois é máximo de um conjunto finito. Defina
M = \max\{M_0,\,|L|+1\}.
Então, para todo n\in\mathbb{N} temos |a_n|\le M. Portanto (a_n) é limitada.

Passo 7

Conclusão lógica: como qualquer sequência convergente é limitada (prova acima), não existe sequência que seja ao mesmo tempo convergente e ilimitada. Em outras palavras, o caso pedido é impossível.

Passo 8

Para fixar a intuição com exemplos didáticos (não pedidos, mas úteis): sequências convergentes conhecidas são necessariamente limitadas; por exemplo
  • a_n = \dfrac{1}{n} converge para 0 e satisfaz |a_n|\le 1 para todo n.
  • b_n = \dfrac{(-1)^n}{n+1} converge para 0 e satisfaz |b_n|\le 1 para todo n.
    Esses exemplos ilustram que convergência traz consigo a propriedade de que os termos ficam próximos do limite e, assim, não podem “ir para infinito” — por isso não podem ser ilimitadas.

Resposta

Não é possível.

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