Diga qual regra foi usada (Modus Ponens, Modus Tollens, etc.) e a conclusão.
Exercício 13
  • p \rightarrow q
  • \neg q
Conclusão: __________
Regra: __________

Passo 1

O enunciado fornece duas premissas e pede que se encontre a conclusão e a regra usada. As informações dadas são:
  • Premissa 1: p \rightarrow q.
  • Premissa 2: \neg q.
O que se pede:
  • Conclusão: preencher a lacuna com a fórmula lógica que segue das premissas.
  • Regra: indicar qual regra de inferência foi usada (por exemplo, Modus Ponens, Modus Tollens, etc.).

Passo 2

Entendendo a implicação p \rightarrow q. Em linguagem informal, p \rightarrow q significa "se p então q". Em lógica proposicional, a implicação é verdadeira em todos os casos, exceto quando p é verdadeira e q é falsa. Em linguagem de prova, p \rightarrow q nos diz que a verdade de p garante a verdade de q.
Entendendo a negação \neg q. A fórmula \neg q afirma que q é falsa. Ou seja, sabemos explicitamente que q não é verdadeiro.

Passo 3

Apresentando as regras de inferência relevantes, sem supor que já se sabe:
  • Modus Ponens (MP): a regra diz que, a partir de p \rightarrow q e de p, pode-se inferir q. Em símbolos, de
    p \rightarrow q \quad\text{e}\quad p
    segue
    q.
    Exemplo simples: “Se chove ( p) então a rua fica molhada ( q). Está chovendo ( p). Logo, a rua está molhada ( q).”
  • Modus Tollens (MT): a regra diz que, a partir de p \rightarrow q e de \neg q, pode-se inferir \neg p. Em símbolos, de
    p \rightarrow q \quad\text{e}\quad \neg q
    segue
    \neg p.
    Exemplo simples: “Se a chave está na porta ( p) então o alarme toca ( q). O alarme não tocou ( \neg q). Logo, a chave não estava na porta ( \neg p).”

Passo 4

Duas formas de justificar a inferência aqui (ambas levam ao mesmo resultado):
Forma A — aplicando Modus Tollens diretamente:
  • Temos p \rightarrow q (premissa).
  • Temos \neg q (premissa).
  • Pela regra de Modus Tollens, a partir dessas duas premissas segue \neg p.
Forma B — usando a equivalência com a contrapositive e Modus Ponens:
  • Observação: a implicação é logicamente equivalente à sua contrapositive: p \rightarrow q \quad\text{é logicamente equivalente a}\quad \neg q \rightarrow \neg p.é
  • Como temos p \rightarrow q, podemos considerar também \neg q \rightarrow \neg p (contrapositiva).
  • Temos \neg q (premissa).
  • Aplicando Modus Ponens à contrapositive e a \neg q, obtemos \neg p.
Em qualquer caso, a conclusão válida que segue das premissas é \neg p, e a regra que descreve essa inferência é Modus Tollens.

Passo 5

Dica prática para prova: quando vir um par do tipo p\rightarrow q junto com \neg q, reconheça imediatamente o padrão de Modus Tollens e responda \neg p. Evite confundir com a falaciosa inversão (não se pode inferir q \rightarrow p nem p apenas por ter p\rightarrow q e \neg q.

Resposta

\neg p
Modus Tollens

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