Diga se os seguintes cálculos são verdadeiros ou falsos, em geral. Dar exemplos numéricos para justificar.
5 n+7 m n2 m n+n=5+7 m2 m+1

Passo 1

Temos o cálculo em questão:
Queremos verificar se
5n+7mn2mn+n=5+7m2m+1
o conteúdo aqui é simplificação de expressões racionais: vamos precisar usar fatoração e cancelamento, além de observar as condições de existência (denominador ≠ 0).

Passo 2

Observe que o numerador e o denominador têm um fator comum n. Podemos reescrever cada um:
5n+7mn=n(5+7m)
2mn+n=n(2m+1)

Passo 3

Para nneq0 podemos cancelar o fator n no numerador e no denominador, obtendo
5n+7mn2mn+n=n(5+7m)n(2m+1)=5+7m2m+1

Passo 4

É importante destacar que esse cancelamento só é válido se nneq0, pois não podemos dividir por zero. Logo, a igualdade vale em geral desde que nneq0.

Passo 5

Como exemplo numérico, escolha m=3 e n=5:
5cdot5+7cdot3cdot52cdot3cdot5+5=25+10530+5=13035=267
e
5+7cdot32cdot3+1=5+216+1=267
Ambos coincidem. Se escolhermos n=0, o denominador da expressão original fica zero e a expressão não está definida, mostrando que não podemos afirmar a igualdade para n=0.

Resposta

A igualdade é verdadeira em geral, desde que nneq0, pois aí o cancelamento de n é válido.

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