Diga se os seguintes cálculos são verdadeiros ou falsos, em geral. Dar exemplos numéricos para justificar.
3 n+m n2 n+m=3+m2+m

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para verificar se a igualdade 3n + mn2n + m = 3 + m2 + m é verdadeira ou falsa em geral. Estamos lidando com expressões algébricas envolvendo frações, então vamos precisar usar conhecimento de álgebra básica e manipulação de frações para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa dizer que duas frações são iguais em geral. Isso quer dizer que, para quaisquer valores de $ n $ e $ m $ (exceto onde o denominador seja zero), as duas expressões devem dar o mesmo resultado.

Passo 3

Vamos comparar as duas frações:
3n + mn2n + m e 3 + m2 + m
Para verificar se elas são iguais, podemos simplificar a primeira fração:
3n + mn2n + m = n(3 + m)2n + m

Passo 4

Agora, olhando para a segunda fração, vemos que ela é:
3 + m2 + m
Para que as duas frações sejam iguais, precisaríamos que:
n(3 + m)2n + m = 3 + m2 + m
Simplificando, isso implicaria que:
n(3 + m)(2 + m) = (3 + m)(2n + m)
Se $ 3 + m $ não for zero, podemos cancelar esse termo dos dois lados:
3 + m
Expandindo o lado esquerdo:
n(2 + m) = 2n + m
Subtraindo $ 2n $ de ambos os lados:
2n + nm = 2n + m
Se $ m \neq 0 $, podemos dividir ambos os lados por $ m $:
2n
Isso significa que a igualdade só é verdadeira quando $ n = 1 $, independentemente de $ m $.

Passo 5

Mas o enunciado pede para verificar se a igualdade é verdadeira em geral, ou seja, para quaisquer valores de $ n $ e $ m $. Vimos que só é verdadeira quando $ n = 1 $.

Passo 6

Vamos dar um exemplo numérico para justificar que a igualdade nem sempre é verdadeira. Suponha que $ n = 2 $ e $ m = 1 $:
Calculando a primeira fração:
n = 2
Calculando a segunda fração:
m = 1
Como $ 1.6 \neq 1.333 $, a igualdade não é verdadeira para esses valores.

Resposta

A igualdade 3n + mn2n + m = 3 + m2 + m não é verdadeira em geral. Ela só vale quando $ n = 1 $. Por exemplo, para $ n = 2 $ e $ m = 1 $, temos n = 1 , confirmando que a igualdade é falsa na maioria dos casos.

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