Diga se os seguintes cálculos são verdadeiros ou falsos, em geral. Dar exemplos numéricos para justificar.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para verificar se a igualdade
é verdadeira ou falsa em geral. Estamos lidando com expressões algébricas envolvendo frações, então vamos precisar usar conhecimento de álgebra básica e manipulação de frações para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa dizer que duas frações são iguais em geral. Isso quer dizer que, para quaisquer valores de $ n $ e $ m $ (exceto onde o denominador seja zero), as duas expressões devem dar o mesmo resultado.
Passo 3
Vamos comparar as duas frações:
Para verificar se elas são iguais, podemos simplificar a primeira fração:
Passo 4
Agora, olhando para a segunda fração, vemos que ela é:
Para que as duas frações sejam iguais, precisaríamos que:
Simplificando, isso implicaria que:
Se $ 3 + m $ não for zero, podemos cancelar esse termo dos dois lados:
Expandindo o lado esquerdo:
Subtraindo $ 2n $ de ambos os lados:
Se $ m \neq 0 $, podemos dividir ambos os lados por $ m $:
Isso significa que a igualdade só é verdadeira quando $ n = 1 $, independentemente de $ m $.
Passo 5
Mas o enunciado pede para verificar se a igualdade é verdadeira em geral, ou seja, para quaisquer valores de $ n $ e $ m $. Vimos que só é verdadeira quando $ n = 1 $.
Passo 6
Vamos dar um exemplo numérico para justificar que a igualdade nem sempre é verdadeira. Suponha que $ n = 2 $ e $ m = 1 $:
Calculando a primeira fração:
Calculando a segunda fração:
Como $ 1.6 \neq 1.333 $, a igualdade não é verdadeira para esses valores.
Resposta
A igualdade
não é verdadeira em geral. Ela só vale quando $ n = 1 $. Por exemplo, para $ n = 2 $ e $ m = 1 $, temos
, confirmando que a igualdade é falsa na maioria dos casos.