Diga se as seguintes equações diferenciais são lineares e justifique sua resposta:
y^{\prime}=y-5 x^{3}

Passo 1

O enunciado apresenta a equação diferencial de primeira ordem
y' = y - 5x^3
e pede para verificarmos se ela é linear. Para isso vamos usar o conceito de equação diferencial linear de primeira ordem, que deve ter a forma
a1(x),y' + a0(x),y = g(x)
sem termos não lineares em y ou em y'.

Passo 2

Reescrevemos a equação na forma padrão:
y' - y = -5x^3
Aqui podemos identificar a1(x)=1, a0(x)=-1 e g(x)=-5x^3.

Passo 3

Pela definição, a equação é linear se não aparecerem produtos ou potências de y (ou de y'). Na forma
a1(x),y' + a0(x),y = g(x)
vemos que todos os termos com y e y' estão apenas multiplicados por funções de x. Não há termos como (y)^2, ycdot y' nem outros não lineares.

Resposta

A equação diferencial
y' = y - 5x^3
é linear, pois pode ser escrita como
y' - y = -5x^3
e satisfaz a forma a1(x),y' + a0(x),y = g(x) sem termos não lineares em y ou em y'.

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