Diga se as seguintes equações diferenciais são lineares e justifique sua resposta:
y^{\prime}=y-5 x^{3}
y^{\prime}=y-5 x^{3}
Passo 1
O enunciado apresenta a equação diferencial de primeira ordem
e pede para verificarmos se ela é linear. Para isso vamos usar o conceito de equação diferencial linear de primeira ordem, que deve ter a forma
sem termos não lineares em
ou em
.
Passo 2
Reescrevemos a equação na forma padrão:
Aqui podemos identificar
,
e
.
Passo 3
Pela definição, a equação é linear se não aparecerem produtos ou potências de
(ou de
). Na forma
vemos que todos os termos com
e
estão apenas multiplicados por funções de
. Não há termos como
,
nem outros não lineares.
Resposta
A equação diferencial
é linear, pois pode ser escrita como
e satisfaz a forma
sem termos não lineares em
ou em
.