1. Suponha que você saiba que a série Sigman=0^infty bn x^n converge para |x|<2. O que você pode dizer sobre a série a seguir? Por quê?
sumn=0^infty bnn+1 x^n+1

Passo 1

O enunciado diz que a série de potências
sumn=0^infty bnx^n
converge para |x|<2. Ou seja, seu raio de convergência é R=2. Queremos então estudar a série
sumn=0^infty bnn+1,x^n+1
O que precisamos aqui é de um critério para determinar o raio de convergência de uma nova série de potências a partir dos coeficientes.

Passo 2

Uma forma direta é usar o Teste da Raiz (ou Cauchy–Hadamard). Reescrevemos a série em potência de x^m reindexando m=n+1. Assim,
sumn=0^infty bnn+1,x^n+1 =summ=1^infty cm,x^m, cm=bm-1m
Pelo critério da raiz, o inverso do raio de convergência R' desta série é
1R' =limsupmtoinftyl|cmr|^1/m =limsupmtoinfty|bm-1|^1/mm^1/m
Como m^1/mto1 quando mtoinfty e
limsupmtoinfty|bm-1|^1/m =limsupntoinfty|bn|^1/n =12,
segue que
1R'=12 Longrightarrow R'=2

Passo 3

Também podemos entender a série dada como a primitiva da função definida pela primeira série, já que
integral0^xl(sumn=0^inftybnt^nr),dt =sumn=0^inftybnn+1,x^n+1
É um resultado clássico que integrar série de potências não altera o raio de convergência. Logo o novo raio continua sendo 2.

Resposta

A série
sumn=0^infty bnn+1,x^n+1
converge também para |x|<2, pois o raio de convergência permanece 2.

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