- Suponha que você saiba que a série
converge para
. O que você pode dizer sobre a série a seguir? Por quê?
Passo 1
O enunciado diz que a série de potências
converge para
. Ou seja, seu raio de convergência é
. Queremos então estudar a série
O que precisamos aqui é de um critério para determinar o raio de convergência de uma nova série de potências a partir dos coeficientes.
Passo 2
Uma forma direta é usar o Teste da Raiz (ou Cauchy–Hadamard). Reescrevemos a série em potência de
reindexando
. Assim,
Pelo critério da raiz, o inverso do raio de convergência
desta série é
Como
m^1/mto1 quando
mtoinfty e
segue que
Passo 3
Também podemos entender a série dada como a primitiva da função definida pela primeira série, já que
É um resultado clássico que integrar série de potências não altera o raio de convergência. Logo o novo raio continua sendo
2 .
Resposta
A série
converge também para
|x|<2 , pois o raio de convergência permanece
2 .