Obtenha os 4 primeiros termos das séries. Diga se as séries convergem ou divergem. Calcule a soma das séries que convergem.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^{n-1}}{3^{n}}

Passo 1

O enunciado pede os quatro primeiros termos da série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^{n-1}}{3^{n}}
e, em seguida, determinar se ela converge ou diverge. Caso ela convirja, queremos também o valor da soma. O conteúdo principal aqui é séries geométricas, então vamos identificar a forma geral de termo e a razão.

Passo 2

Vamos calcular explicitamente os quatro primeiros termos, isto é, para n=1,2,3,4:
t_{n} = \frac{2^{n-1}}{3^{n}}.
Para n=1:
t_{1} = \frac{2^{0}}{3^{1}} = \frac{1}{3}.
Para n=2:
t_{2} = \frac{2^{1}}{3^{2}} = \frac{2}{9}.
Para n=3:
t_{3} = \frac{2^{2}}{3^{3}} = \frac{4}{27}.
Para n=4:
t_{4} = \frac{2^{3}}{3^{4}} = \frac{8}{81}.

Passo 3

Observamos que a razão entre termos consecutivos é
r = \frac{t_{n+1}}{t_{n}} = \frac{\frac{2^{n}}{3^{n+1}}}{\frac{2^{n-1}}{3^{n}}} = \frac{2}{3}.
Como \lvert r\rvert = \tfrac{2}{3}<1, trata-se de uma série geométrica convergente.

Passo 4

Para uma série geométrica com primeiro termo a = t_{1} = \tfrac{1}{3} e razão r=\tfrac{2}{3}, a soma é
S = \frac{a}{1-r} = \frac{\tfrac{1}{3}}{1 - \tfrac{2}{3}} = \frac{\tfrac{1}{3}}{\tfrac{1}{3}} = 1.

Resposta

Os quatro primeiros termos são
\tfrac{1}{3}, \tfrac{2}{9}, \tfrac{4}{27}, \tfrac{8}{81}.
A série converge e sua soma é 1.

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