Diga se a série converge ou diverge. Se convergir, calcule sua soma (com exceção do item (c)). Se divergir, justifique:
Passo 1
O enunciado pede para decidir se a série
converge ou diverge. Não foi pedido soma (apenas decidir convergência/divergência), então o objetivo é justificar se a série converge e, se não, explicar por que diverge.
Informações dadas:
- O termo geral da série é
. - A soma considerada é a soma infinita dos
para .
Passo 2
Lembrete importante (ferramenta que vamos usar): se uma série
converge, então necessariamente o termo geral satisfaz
Este é um teste necessário (por vezes chamado “teste do termo geral”): se
então a série diverge. Explicação simples do porquê: se os somatórios parciais
têm limite finito
, então
Portanto, termos não nulos no limite impedem convergência.
Observação pedagógica: este teste é necessário mas não suficiente — isto é,
não garante convergência (por exemplo, a série harmônica
tem termos que vão a zero e, ainda assim, diverge).
Passo 3
Calcular o limite do termo geral
. Para isso simplificamos dividindo numerador e denominador por
:
Portanto
.
Passo 4
Aplicando o teste do termo geral: como
, a série não pode convergir. Logo a série diverge.
Complemento (intuição e confirmação por comparação): para todo
vale
pois
para
. Assim os termos são, a partir do começo, maiores ou iguais a uma constante positiva
; somar uma sequência infinita de termos
claramente diverge (os somatórios parciais crescem sem limite). Isso reforça a conclusão de divergência.
Passo 5
Conclusão final: a série diverge, por não satisfazer a condição necessária
.
Resposta
A série diverge.