Diga se a série converge ou diverge. Se convergir, calcule sua soma (com exceção do item (c)). Se divergir, justifique:
\sum(4 n) /(4 n+1)

Passo 1

O enunciado pede para decidir se a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{4n}{4n+1}
converge ou diverge. Não foi pedido soma (apenas decidir convergência/divergência), então o objetivo é justificar se a série converge e, se não, explicar por que diverge.
Informações dadas:
  • O termo geral da série é a_n=\dfrac{4n}{4n+1}.
  • A soma considerada é a soma infinita dos a_n para n=1,2,3,\dots.

Passo 2

Lembrete importante (ferramenta que vamos usar): se uma série \sum_{n=1}^{\infty} a_n converge, então necessariamente o termo geral satisfaz
\lim_{n\to\infty} a_n = 0.
Este é um teste necessário (por vezes chamado “teste do termo geral”): se \lim_{n\to\infty} a_n \neq 0 então a série diverge. Explicação simples do porquê: se os somatórios parciais S_N=\sum_{n=1}^N a_n têm limite finito S, então
a_N = S_N - S_{N-1} \longrightarrow S-S=0.
Portanto, termos não nulos no limite impedem convergência.
Observação pedagógica: este teste é necessário mas não suficiente — isto é, \lim a_n=0 não garante convergência (por exemplo, a série harmônica \sum 1/n tem termos que vão a zero e, ainda assim, diverge).

Passo 3

Calcular o limite do termo geral a_n=\dfrac{4n}{4n+1}. Para isso simplificamos dividindo numerador e denominador por n:
\lim_{n\to\infty} \frac{4n}{4n+1} = \lim_{n\to\infty} \frac{4}{4+\tfrac{1}{n}} = \frac{4}{4+0} = 1.
Portanto \displaystyle \lim_{n\to\infty} a_n = 1.

Passo 4

Aplicando o teste do termo geral: como \lim_{n\to\infty} a_n = 1 \neq 0, a série não pode convergir. Logo a série diverge.
Complemento (intuição e confirmação por comparação): para todo n\ge1 vale
\frac{4n}{4n+1} \ge \frac{4n}{4n+4} = \frac{n}{n+1} \ge \frac{1}{2},
pois n/(n+1)\ge 1/2 para n\ge1. Assim os termos são, a partir do começo, maiores ou iguais a uma constante positiva \tfrac{1}{2}; somar uma sequência infinita de termos \ge\tfrac{1}{2} claramente diverge (os somatórios parciais crescem sem limite). Isso reforça a conclusão de divergência.

Passo 5

Conclusão final: a série diverge, por não satisfazer a condição necessária \lim_{n\to\infty} a_n=0.

Resposta

A série diverge.

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