( 2,0 pts) Mostre que a Série Geométrica \sum(\mathrm{n}=1 até \infty) \operatorname{ar}^{\wedge}\{\mathrm{n}-1\}=\mathrm{a}+\mathrm{ar}+\mathrm{ar}^{2}+\ldots é convergente se |\mathrm{r}|<1 e que sua soma é \mathrm{a} /(1-\mathrm{r}). Mostre que se |\mathrm{r}| \geq 1, então a série diverge.

Passo 1

O enunciado nos dá a série geométrica
\sum_{n=1}^{\infty} a r^{\,n-1} = a + a r + a r^{2} + \ldots
e pede duas coisas:
  • Mostrar que a série é convergente quando |r|<1 e que sua soma é \dfrac{a}{1-r}.
  • Mostrar que se |r|\geq 1 então a série diverge.
Informações relevantes dadas:
  • a é o primeiro termo (constante).
  • r é a razão (constante).
  • A série é a soma dos termos a r^{\,n-1} para n=1,2,3,\dots.

Passo 2

Definição e estratégia: uma série \sum_{n=1}^{\infty} u_n converge se a sequência das somas parciais
S_N=\sum_{n=1}^{N} u_n
tem limite finito quando N\to\infty. Aqui u_n = a r^{\,n-1}. Portanto, vamos calcular explicitamente a soma parcial S_N, obter uma fórmula em função de N e depois tomar o limite N\to\infty. Esse é o método padrão para a série geométrica.

Passo 3

Cálculo da soma parcial S_N (caso r\neq 1).
Escrevemos a soma parcial:
S_N = a + a r + a r^{2} + \cdots + a r^{N-1}.
Multiplicando S_N por r obtemos
r S_N = a r + a r^{2} + \cdots + a r^{N-1} + a r^{N}.
Agora subtraímos essas duas igualdades (faça isso passo a passo na prova):
S_N - r S_N = a - a r^{N}.
No lado esquerdo fatoramos S_N(1-r), então
S_N(1-r) = a(1 - r^{N}).
Supondo r\neq 1, isolamos S_N:
S_N = \frac{a(1 - r^{N})}{1-r}.
Essa é a fórmula exata da soma parcial para r\neq 1. (Se r=1 a soma parcial é S_N = Na, o que analisaremos depois.)

Passo 4

Limite de S_N quando |r|<1.
Lema útil: se |r|<1, então r^{N}\to 0 quando N\to\infty. Isso é um fato básico sobre potências: número com módulo menor que 1 elevado a potências maiores tende a zero.
Aplicando esse fato à expressão de S_N:
\lim_{N\to\infty} S_N = \lim_{N\to\infty} \frac{a(1 - r^{N})}{1-r} = \frac{a(1 - 0)}{1-r} = \frac{a}{1-r}.
Logo, quando |r|<1 a sequência das somas parciais tem limite finito e a série converge com soma
\boxed{\dfrac{a}{1-r}.}
Exemplo rápido e concreto para intuição: se a=1 e r=\tfrac12, então S_N = 1 - \tfrac{1}{2^{N}} dividido por 1-\tfrac12=\tfrac12, ou seja S_N = 2(1-\tfrac{1}{2^{N}}), que tende para 2 quando N\to\infty.

Passo 5

Caso |r|\geq 1: demonstração da divergência (com as subdivisões naturais).
Primeiro fato geral (necessário para convergência): se \sum u_n converge então u_n\to 0. Ou seja, um teste necessário — se os termos não tendem a zero, a série diverge.
  • Caso |r|>1. Os termos são u_n = a r^{\,n-1}. Então |u_n| = |a|\,|r|^{\,n-1}. Como |r|^{\,n-1}\to\infty quando |r|>1, segue que |u_n|\to\infty (ou pelo menos não tende a zero). Assim u_n não tende a zero, logo a série diverge.
  • Caso r=1. Então u_n = a para todo n e as somas parciais são S_N = Na. Se a\neq 0 temos S_N\to\infty ou -\infty (dependendo do sinal de a), portanto diverge. Se a=0 então todos os termos são zero e a série é a soma de zeros (caso trivial e convergente); normalmente quando se afirma o teorema diz-se que a série geométrica só converge para |r|<1, com a convenção óbvia do caso trivial a=0.
  • Caso r=-1. Os termos são u_n = a(-1)^{\,n-1}, ou seja: a, -a, a, -a,\dots. As somas parciais alternam entre S_{2k}=0 e S_{2k+1}=a. Essa sequência de somas parciais não tem limite (oscila entre dois valores distintos) salvo se a=0. Logo diverge para a\neq 0.
Portanto, para |r|\geq 1 (exceto no caso trivial a=0) a série não converge.

Passo 6

Resumo final (intuição e uso em prova): a chave foi escrever a soma parcial e usar a fatoração com 1-r para obter uma fórmula fechada \displaystyle S_N=\frac{a(1-r^N)}{1-r}. Quando |r|<1 o termo r^N some no limite e sobra \dfrac{a}{1-r}. Quando |r|\geq1 ou os termos não tendem a zero (caso |r|>1) ou as somas parciais oscilam ou crescem sem limite (casos r=\pm1), então a série diverge (exceto o caso trivial a=0).

Resposta

Para |r|<1: \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a r^{\,n-1}=\frac{a}{1-r}.
Para |r|\geq 1: a série diverge (exceto no caso trivial a=0, em que todos os termos são zero).

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