( 2,0 pts) Mostre que a Série Geométrica
até
é convergente se
e que sua soma é
. Mostre que se
, então a série diverge.
Passo 1
O enunciado nos dá a série geométrica
e pede duas coisas:
- Mostrar que a série é convergente quando
e que sua soma é . - Mostrar que se
então a série diverge.
Informações relevantes dadas:
-
é o primeiro termo (constante). -
é a razão (constante). - A série é a soma dos termos
para .
Passo 2
Definição e estratégia: uma série
converge se a sequência das somas parciais
tem limite finito quando
. Aqui
. Portanto, vamos calcular explicitamente a soma parcial
, obter uma fórmula em função de
e depois tomar o limite
. Esse é o método padrão para a série geométrica.
Passo 3
Cálculo da soma parcial
(caso
).
Escrevemos a soma parcial:
Multiplicando
por
obtemos
Agora subtraímos essas duas igualdades (faça isso passo a passo na prova):
No lado esquerdo fatoramos
, então
Supondo
, isolamos
:
Essa é a fórmula exata da soma parcial para
. (Se
a soma parcial é
, o que analisaremos depois.)
Passo 4
Limite de
quando
.
Lema útil: se
, então
quando
. Isso é um fato básico sobre potências: número com módulo menor que 1 elevado a potências maiores tende a zero.
Aplicando esse fato à expressão de
:
Logo, quando
a sequência das somas parciais tem limite finito e a série converge com soma
Exemplo rápido e concreto para intuição: se
e
, então
dividido por
, ou seja
, que tende para
quando
.
Passo 5
Caso
: demonstração da divergência (com as subdivisões naturais).
Primeiro fato geral (necessário para convergência): se
converge então
. Ou seja, um teste necessário — se os termos não tendem a zero, a série diverge.
-
Caso
. Os termos são . Então . Como quando , segue que (ou pelo menos não tende a zero). Assim não tende a zero, logo a série diverge. -
Caso
. Então para todo e as somas parciais são . Se temos ou (dependendo do sinal de ), portanto diverge. Se então todos os termos são zero e a série é a soma de zeros (caso trivial e convergente); normalmente quando se afirma o teorema diz-se que a série geométrica só converge para , com a convenção óbvia do caso trivial . -
Caso
. Os termos são , ou seja: . As somas parciais alternam entre e . Essa sequência de somas parciais não tem limite (oscila entre dois valores distintos) salvo se . Logo diverge para .
Portanto, para
(exceto no caso trivial
) a série não converge.
Passo 6
Resumo final (intuição e uso em prova): a chave foi escrever a soma parcial e usar a fatoração com
para obter uma fórmula fechada
. Quando
o termo
some no limite e sobra
. Quando
ou os termos não tendem a zero (caso
) ou as somas parciais oscilam ou crescem sem limite (casos
), então a série diverge (exceto o caso trivial
).
Resposta
Para
:
Para : a série diverge (exceto no caso trivial
, em que todos os termos são zero).
Para