Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, calcule o limite. Se divergir, justifique:
a_n \left(2 n^{3}\right) /\left(3^{\wedge} n\right)

Passo 1

O enunciado dá a sequência
a_n=\frac{2\,n^{3}}{3^{n}}
e pede para determinar se a sequência converge ou diverge. Se convergir, calcular o limite \lim_{n\to\infty}a_n.
Informações relevantes fornecidas:
  • O numerador é um polinômio em n, igual a 2\,n^{3}.
  • O denominador é uma exponencial em n, igual a 3^{n}.
  • A tarefa é: decidir convergência/divergência e, em caso de convergência, encontrar o limite.

Passo 2

Breve comentário sobre estratégia (sem resolver ainda): quando temos uma sequência do tipo polinomial dividido por exponencial (aqui n^3 sobre 3^n), uma técnica eficiente é estudar a razão entre termos consecutivos
\frac{a_{n+1}}{a_n},
porque, se essa razão tende para um número L com L<1, isso indica que os termos decaem geometricamente e a sequência tende para 0. Vou aplicar exatamente isso: calcular \dfrac{a_{n+1}}{a_n} e estudar seu limite.

Passo 3

Calcular a razão entre termos consecutivos:
\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{\dfrac{2\,(n+1)^{3}}{3^{\,n+1}}}{\dfrac{2\,n^{3}}{3^{\,n}}} = \frac{(n+1)^{3}}{n^{3}}\cdot\frac{1}{3}.
Simplificando a fração obtemos
\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{1}{3}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{3}.

Passo 4

Calcular o limite da razão quando n\to\infty. Usar o fato elementar de limites \left(1+\dfrac{1}{n}\right)^{3}\to 1 quando n\to\infty. Portanto
\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{1}{3}\cdot 1 = \frac{1}{3}.
Então o limite da razão é L=\dfrac{1}{3}, que é menor que 1.

Passo 5

Explicar por que L<1 implica a_n\to 0. Argumento completo e didático:
  • Como \lim_{n\to\infty}\dfrac{a_{n+1}}{a_n}=L=\dfrac{1}{3}, existe N\in\mathbb{N} tal que para todo n\ge N vale
\frac{a_{n+1}}{a_n} \le \frac{1}{2}.
(Justificativa: por definição de limite, tomando por exemplo \varepsilon=\tfrac{1}{6} obtemos que para n grande a razão difere de 1/3 por menos que 1/6, logo é \le 1/3+1/6=1/2.)
  • A partir daí, para todo k\ge0,
a_{N+k} \le a_{N}\left(\frac{1}{2}\right)^{k},
pois cada passo multiplicamos por no máximo 1/2. A sequência geométrica a_{N}\left(\tfrac{1}{2}\right)^{k} tende a 0 quando k\to\infty. Portanto a_n\to 0 quando n\to\infty.
Este é um argumento padrão: se as razões sucessivas ficam estritamente menores que 1 a partir de algum índice, os termos ficam dominados por uma progressão geométrica de razão <1 e, assim, tendem a zero.

Passo 6

Conclusão prática: a sequência a_n=\dfrac{2\,n^{3}}{3^{n}} converge e o seu limite é 0. Intuitivamente, a exponencial 3^{n} cresce muito mais rápido que o polinômio n^{3}, fazendo a fração ir para zero.

Resposta

A sequência converge e \lim_{n\to\infty}a_n=0.

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