Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, calcule o limite. Se divergir, justifique:
a_n
a_n
Passo 1
O enunciado dá a sequência
e pede para determinar se a sequência converge ou diverge. Se convergir, calcular o limite
.
Informações relevantes fornecidas:
- O numerador é um polinômio em
, igual a . - O denominador é uma exponencial em
, igual a . - A tarefa é: decidir convergência/divergência e, em caso de convergência, encontrar o limite.
Passo 2
Breve comentário sobre estratégia (sem resolver ainda): quando temos uma sequência do tipo polinomial dividido por exponencial (aqui
sobre
), uma técnica eficiente é estudar a razão entre termos consecutivos
porque, se essa razão tende para um número
com
, isso indica que os termos decaem geometricamente e a sequência tende para
. Vou aplicar exatamente isso: calcular
e estudar seu limite.
Passo 3
Calcular a razão entre termos consecutivos:
Simplificando a fração obtemos
Passo 4
Calcular o limite da razão quando
. Usar o fato elementar de limites
quando
. Portanto
Então o limite da razão é
, que é menor que
.
Passo 5
Explicar por que
implica
. Argumento completo e didático:
- Como
, existe tal que para todo vale
(Justificativa: por definição de limite, tomando por exemplo
obtemos que para
grande a razão difere de
por menos que
, logo é
.)
- A partir daí, para todo
,
pois cada passo multiplicamos por no máximo
. A sequência geométrica
tende a
quando
. Portanto
quando
.
Este é um argumento padrão: se as razões sucessivas ficam estritamente menores que 1 a partir de algum índice, os termos ficam dominados por uma progressão geométrica de razão
e, assim, tendem a zero.
Passo 6
Conclusão prática: a sequência
converge e o seu limite é
. Intuitivamente, a exponencial
cresce muito mais rápido que o polinômio
, fazendo a fração ir para zero.
Resposta
A sequência converge e
.