Quer-se saber se a soma infinita dos a_n converge (ou diverge).
Passo 2
Primeiro comentário didático sobre por que isso importa: como todos os termos são não negativos (a_n\ge0), qualquer teste de comparação ou de raiz/razão pode ser usado para decidir convergência absoluta — aqui “convergência” e “convergência absoluta” coincidem porque os termos já são positivos. Então podemos procurar uma série simples conhecida que domine a_n por cima (teste da comparação) ou aplicar o teste da raiz de Cauchy (teste radicular).
Vou usar o teste da comparação com uma série geométrica simples porque é o caminho mais direto e elementar.
Passo 3
Mostro uma desigualdade simples que facilita a comparação. Para todo n\ge1 vale
\frac{1}{1+n}\le\frac{1}{2},
pois 1+n\ge2 quando n\ge1. Como a função x\mapsto x^{n} é crescente para x\ge0 e n fixo, ao elevar ambos os lados à potência n (com n positivo) obtemos
a_n \le \left(\frac{1}{2}\right)^{n}\qquad\text{para todo }n\ge1.
Passo 4
Lembrete sobre séries geométricas (didático): a série geométrica
\sum_{n=1}^{\infty} r^{n}
converge se, e somente se, |r|<1. No caso r=\tfrac{1}{2} temos |r|=\tfrac{1}{2}<1, portanto
\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{2}\right)^{n}
é uma série convergente (especificamente, converge para \tfrac{1/2}{1-1/2}=1, mas só precisamos saber que converge).
Passo 5
Aplicando o teste da comparação direta: como 0\le a_n \le (1/2)^n para todo n e \sum (1/2)^n converge, segue que
\sum_{n=1}^{\infty} a_n
converge também. Conclusão: a série dada é convergente (e, por termos positivos, convergente absolutamente).
Passo 6
Comentário opcional (alternativa didática): usando o teste da raiz de Cauchy também dá um caminho curto. Definindo a_n=\left(\tfrac{1}{1+n}\right)^n, temos
O teste da raiz diz que se \limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}<1 então a série converge. Aqui o limite é 0<1, portanto a série converge. Isso confirma o resultado anterior.