Calcule o limite, se existir.
lim _{t \rightarrow 0} \frac{\sqrt{1+t}-\sqrt{1-t}}{t}

Passo 1

O enunciado quer calcular o limite
\lim_{t\to 0}\frac{\sqrt{1+t}-\sqrt{1-t}}{t}.
Este é um problema de limite que leva a uma forma indeterminada \tfrac{0}{0}. Vamos usar a técnica de racionalização para resolver.

Passo 2

Verificamos a forma indeterminada fazendo substituição direta t=0:
\frac{\sqrt{1+0}-\sqrt{1-0}}{0}=\frac{1-1}{0}=\frac{0}{0}.
Como deu \tfrac{0}{0}, precisamos racionalizar o numerador, ou seja, multiplicar numerador e denominador pela conjugada \sqrt{1+t}+\sqrt{1-t}.

Passo 3

Multiplicando por essa conjugada, temos
\frac{\sqrt{1+t}-\sqrt{1-t}}{t}\cdot \frac{\sqrt{1+t}+\sqrt{1-t}}{\sqrt{1+t}+\sqrt{1-t}} = \frac{(1+t)-(1-t)}{t\bigl(\sqrt{1+t}+\sqrt{1-t}\bigr)} = \frac{2t}{t\bigl(\sqrt{1+t}+\sqrt{1-t}\bigr)} = \frac{2}{\sqrt{1+t}+\sqrt{1-t}}.

Passo 4

Agora que simplificamos, calculamos o limite
\lim_{t\to 0}\frac{2}{\sqrt{1+t}+\sqrt{1-t}} = \frac{2}{\sqrt{1+0}+\sqrt{1-0}} = \frac{2}{1+1} = 1.

Resposta

O limite existe e vale 1.

Exercícios relacionados