Diga se as séries abaixo convergem aboslutamente, condicionalmente, ou são digergentes.
sumn=1^infty (n!)^3(p n)!, para p um número natural.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se a série sumn=1^infty (n!)^3(p cdot n)! converge absolutamente, condicionalmente ou se diverge. Para isso, vamos precisar usar o Teste da Razão, que é ótimo para séries que envolvem fatoriais e potências.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como funciona o Teste da Razão. Esse teste diz que, para uma série sum an, calculamos o limite:
L = limn to infty | an+1an |
  • Se L < 1, a série converge absolutamente.
  • Se L > 1, a série diverge.
  • Se L = 1, o teste não conclui nada.
Então, vamos aplicar isso à nossa série onde an = (n!)^3(p cdot n)!.

Passo 3

Vamos calcular o limite L:
L = limn to infty ( (n+1)! )^3(p(n+1))! cdot (p cdot n)!(n!)^3
Simplificando:
L = limn to infty (n+1)^3 cdot (n!)^3(p cdot n + p)! cdot (p cdot n)!(n!)^3 = limn to infty (n+1)^3(p cdot n + p)(p cdot n + p -1) cdots (p cdot n +1)
Para facilitar, podemos aproximar o denominador como (p cdot n)^p quando n é grande:

Passo 4

Agora, vamos analisar o limite dependendo do valor de p:
  • Se p > 3: O termo 1n^p-3 tende a 0, então L = 0 < 1. Isso significa que a série converge absolutamente.
  • Se p = 3: O termo 1n^0 = 1, então L = 13^3 = 127 < 1. A série também converge absolutamente.
  • Se p < 3: O termo 1n^p-3 tende ao infinito, então L cresce sem limite, ou seja, L = infty > 1. Nesse caso, a série diverge.

Resposta

Para todo número natural p >= 3, a série converge absolutamente. Para p = 1 e p = 2, a série é divergente.

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