Utilize o teorema de Green apra calcular
, onde é parametrizada por e .

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha I=ointCP,dx+Q,dy, onde
P(x,y)=2\arctan\frac yx
e
Q(x,y)=\ln(x2+y2)+x
, usando o Teorema de Green. Vamos aplicar
ointCP,dx+Q,dy=integral duplaD(partial Qpartial x-partial Ppartial y)dA,
sendo D a região interior a C.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais:
Para Q(x,y)=ln(x^2+y^2)+x,
partial Qpartial x=2xx^2+y^2+1
Para P(x,y)=2arctan yx, note que
ddyarctan yx=1/x1+(y/x)^2=xx^2+y^2,
e multiplicando por 2 obtemos
partial Ppartial y=2xx^2+y^2
Logo,
partial Qpartial x-partial Ppartial y=igl(2xx^2+y^2+1r)-2xx^2+y^2=1 

Passo 3

Com isso a integral de linha vira a integral da função constante 1 sobre a região D:
$$I=\iint_{D}1,dA=Área(D).
$$
Ou seja, basta achar a área de I=integral duplaD1,dA=Área(D) .

Passo 4

A curva C é dada por
x=4+2cos t, y=4+sin t, 0<= t<=2pi,
que descrimina uma elipse de semi-eixo maior a=2 e menor b=1 centrada em (4,4). A área dessa elipse é
$$Área(D)=\pi a b=\pi\cdot2\cdot1=2\pi.
$$

Resposta

I=2\pi

Exercícios relacionados