Utilize o teorema de Green apra calcular
, onde
é parametrizada por
e
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de linha
, onde
P(x,y)=2\arctan\frac yx
e
Q(x,y)=\ln(x2+y2)+x
, usando o Teorema de Green. Vamos aplicar
P(x,y)=2\arctan\frac yx
e
Q(x,y)=\ln(x2+y2)+x
, usando o Teorema de Green. Vamos aplicar
sendo
a região interior a
.
Passo 2
Calculamos as derivadas parciais:
Para
,
Para
, note que
e multiplicando por 2 obtemos
Logo,
Passo 3
Com isso a integral de linha vira a integral da função constante 1 sobre a região
:
$$I=\iint_{D}1,dA=Área(D).
$$
Ou seja, basta achar a área de
.
Passo 4
A curva
é dada por
que descrimina uma elipse de semi-eixo maior
e menor
centrada em
. A área dessa elipse é
$$Área(D)=\pi a b=\pi\cdot2\cdot1=2\pi.
$$
Resposta
I=2\pi